なにやら文字式の割り算

質問

なにやら文字式の割り算

すいません。またまた困ってます。
やり方からまったくわかりません。

aは定数とする。以下において、割り算はxについての整式とみて行うものとする。

(1)A,Bはxについての整式とし、Aをx^2-aで割るとあまりがx+1、
　　Bをx^2-aで割るとあまりがxであるとする。ABをx^2-aで割ったときのあまりを求めよ。

(2)x^150をx-aで割ったときのあまりを求めよ。
(3)x^151をx^5-aで割ったときのあまりを求めよ。

どなたかよろしくお願いします。

回答No.2

LightOKOK · ベストアンサー

正月も夜遅くまで勉強がんばっていますね。

整式の割り算は、
（割られる式）、（割る式）、（商の式）、（余り）
という４つの式の関係を

(割られる式)=(割る式)×(商の式)+(余り)‥‥(1)

の形にすることがポイントです。
まず、問題文で、商が与えられてないので、それぞれ、Q1(x),Q2(x)
とでもおきます。そして問題文を(1)の形にすると

A=(x^2-a)Q1(x)+x+1
B=(x^2-a)Q2(x)+x　　‥‥(2)

（１）の場合、AとBの積をつくると
AB=((x^2-a)^2)Q1(x)Q2(x)+(x+1)(x^2-a)Q2(x)+x(x^2-a)Q1(x)+x(x+1)

これを、再び(1)の形にしてみます。（余りの次数）＜（割る式の次数）に注意して、
AB=(x^2-a)・{(x^2-a)Q1(x)Q2(x)+(x+1)Q2(x)+xQ1(x)+1}+x+a

となるから、ABを　(x^2-a)で割ると、
商が　{(x^2-a)Q1(x)Q2(x)+(x+1)Q2(x)+xQ1(x)+1}
余りはわかりますね。

（２）の場合も
x^150=(x-a)Q1(x)+R
ここで、両辺のxにa を代入してみれば、R が求まります。
この代入するa は、上式の (x-a) を0 にするx の値です。

（３）の場合
x^150=(x^5-a)Q2(x)+R(x)　とおき、
x^5-a=0 となる　x　の値は、５乗根a ですから、x=5√a を両辺に
代入します。計算すると
R(x)=(定数)=(5√(a))^151=(a^30)(5√a)

お礼

詳しい説明、どうもありがとうございました。

つまり答えは
(1)x+a
(2)a^150
(3)a^30＊(5√a)←aの5乗根

ですね。

回答No.1

nag0720

(1)
A=f(x)(x^2-a)+x+1
B=g(x)(x^2-a)+x
とすると、
AB=f(x)g(x)(x^2-a)^2+f(x)(x^2-a)+g(x)(x^2-a)+x(x+1)
これをx^2-aで割るとどうなりますか？

(2)
x^150=f(x)(x-a)+b
とおいて、x=aとすると？

(3)
x^150をx^5-aで割ったときの余りは、
X=x^5と考えると、(2)の応用で分かりますね。
では、x^151をx^5-aで割ったときの余りは？
(1)の応用です。

お礼

なるほど！
Ａ、Ｂをそのように表すのは思いつきませんでした。

ありがとうございました！