順列と場合の数について （訂正版）

質問

nＰr＝(n-1)Ｐr　＋　r×(n-1)Ｐ(r-1)

と言う問題でした。この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします！

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

akatukinoshoujyoさん、こんにちは。

＞nＰr＝(n-1)Ｐr　＋　r×(n-1)Ｐ(r-1)

nPr=n!/(n-r)!
ということを使いましょう。

左辺=nPr=n!/(n-r)!
右辺=(n-1)Pr + r*(n-1)P(r-1)
　　=(n-1)!/(n-1-r)! +r*(n-1)!/(n-1-r+1)!
　　=(n-1)!/(n-1-r)! +r*(n-1)!/(n-r)!
　　={(n-r)*(n-1)!}/{(n-r)*(n-1-r)!} +r(n-1)!/(n-r)!
　　={(n-r)*(n-1)!}/(n-r)! + r*(n-1)!/(n-r)!
　　={(n-1)!(n-r+r)}/(n-r)!
　　=n!/(n-r)!=左辺

となって、等しいことが証明できます。
頑張ってくださいね！！

回答No.3

rei00

おそらく既にある回答で良いと思いますが，こんな考え方もあります。

　nＰr とは，n 個から r 個選んで並べる時にできる場合の数ですね。この時，ある a というものが r 個に含まれる場合と，含まれない場合に分けて考えます。

　ある数 a が r 個に含まれない場合の場合の数は，残りの (n-1) 個から r 個選んで並べることになりますから，場合の数は (n-1)Ｐr です。

　ある数 a が r 個に含まれる場合，まず a 以外の (n-1) 個から (r-1) 個を選んで並べます。場合の数は (n-1)Ｐ(r-1) です。この (r-1) 個が並んでいる所に，a を入れるわけですが，a が入る場所は (r-1) 個の間の (r-2) 通りに両端の場合を足した r 通りあります。(n-1)Ｐ(r-1) 通りの各場合に対して r 通りですから，全部で r×(n-1)Ｐ(r-1) の場合がある事になります。

　こう考えると，n 個から r 個を選んで並べる場合の数は，上の２つの場合の合計で，(n-1)Ｐr ＋ r×(n-1)Ｐ(r-1) となります。

　つまり，nＰr = (n-1)Ｐr ＋ r×(n-1)Ｐ(r-1)　です。

　ご参考まで。

回答No.2

ONEONE

まずは階乗の式に直してそこから目的の式n!/(n-r)!に近づけていく感じでやるとうまく良くと思いマス。

(n-1)Ｐr　＋　r×(n-1)Ｐ(r-1)
＝(n-1)!/(n-1-r)!　　＋　　r(n-1)!/(n-1-r+1)!
＝(n-1)!/(n-r-1)!　　＋　　r(n-1)!/(n-r)!
＝(n-r)(n-1)!/(n-r)(n-r-1)!　　＋　　r(n-1)!/(n-r)!　　　←左の項に分母分子に(n-r)をかけた
＝(n-r)(n-1)!/(n-r)!　　＋　　r(n-1)!/(n-r)!　　←分母共通
＝{(n-r)(n-1)!+r(n-1)!}/(n-r)!
＝（n-r+r)(n-1)!/(n-r)!
＝n(n-1)!/(n-r)!
＝n!/(n-r)!
＝nＰr