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重なる確率の求め方

ある正方形面積X(例えば100cm2)の紙に 5個(正方形面積Y 1cm2)の穴がランダムに開いている もう一つの正方形面積X(100cm2)の紙にも  5個(正方形面積Y 1cm2)の穴がランダムに開いている場合 それらの紙を2枚重ねたとき どれか一つでも穴が重なる確率はどのくらいになるか 算出方法を教えていただきたく.

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回答No.4

穴の正方形が、紙の正方形と同じ向き(回転していない)として、 一枚目の紙をX1、2枚目の紙をX2とします。まず、穴がまったく重なっていない確率を考えて、1から引きましょう。 #穴が端に近かったり、穴どうしが近かったりすると重なる確率が下がると思うのですが、計算上無視します。 穴の大きさが一辺1cmの正方形なので、X1の穴の左上隅を中心とする一辺2cmの正方形の内部(*1)に、X2の穴の左上隅が含まれれば、穴が重なっているとしてよいでしょう。 (*1)の面積は、ばらばらに開いている場合で20平方cm 穴の左上隅という条件から、正方形の右側、下側1cmの範囲には存在しないので、穴の左上隅が存在する範囲(*2)の面積は、(正方形の一辺の長さ-1cm)の二乗(例では81平方cm) 穴が重なっていない確率を考えると、X2に開いている穴の左上隅がすべて、(*2)-(*1)の面積に含まれればよいから、穴が重なる確率は(((*2)-(*1)の面積)÷((*1)の面積))の5乗(例では(61/81)の5乗、約0.242)を1から引いた値 ただ、これではX2に開いている穴が重なる確率を考慮していません。穴が開くと4平方cm分、穴の左上隅が存在する範囲が減るとして、 穴が重なる確率は(((*2)-(*1)の面積-4i)÷((*1)の面積-4i))の総乗(0<=i<=4) (例では(61/81)*(57/77)*(53/73)*(49/69)*(45/65)、約0.199)を1から引いた値 ただ、これだと、X2に開いた穴が重なってはいけないからと除いた範囲に、偶然、(*1)の領域が含まれてしまうのを考慮していませんが、紙の端に穴があるのを無視した以上、こちらも無視することにいたします。

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  • j38
  • ベストアンサー率22% (9/40)
回答No.3

穴が開く場所は、1/(100*100)の確率だから違う気がする。

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  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.2

穴の位置が1cm刻みではない場合は、#1の回答は無視してください。 その場合は、大雑把に考えれば、 1つの穴が別の正方形の5つの穴と重なる確率は、1-4/100*5=80/100 なので、どれか一つの穴が重なる確率は、1-(4/5)^5 実際は、穴が端に近かったり、穴どうしが近かったりすると重なる確率が下がるので、1-(4/5)^5より小さくなるでしょう。

dendousuke
質問者

補足

1つの穴が別の正方形の5つの穴と重なる確率は、 1-(4/100)*5=80/100 上記(4/100)*5の考え方が判りません. 4というのは どこから来たのでしょうか.5というのは穴5個 ということだと思うのですが.

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  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.1

すべての穴が別の正方形の穴と重ならない確率は、(95/100)^5 なので、どれか一つの穴が重なる確率は、1-(95/100)^5

dendousuke
質問者

補足

この回答の場合 紙の面積X 穴の面積Y 穴の数をNとすると 全ての穴が別の紙の穴と重ならない確率は (X-(Y*N)/X)^N ということで良いのですか?

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