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これは間違っていますか？
今、fは(x,y)で連続、かつ1回x,yについての偏微分可能とする。 このとき、 u(x,y)＝∂f/∂x＝lim(h→0)1/h｛f(x＋h,y)-f(x,y)｝とすれば、 ∂u/∂y＝lim(k→0)1/k｛u(x,y＋k)-u(x,y)｝と表せる。さらに ここでは∂u/∂yも存在し、(x,y)で連続とする。 しかし、もともと、hは十分小さい条件であるため、 ∂u/∂y＝lim(h→0)1/h｛u(x,y＋h)-u(x,y)｝・・・・・(1) でも表すことはできる。 果たして(1)の式は間違っていますか？
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- alice_38
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式(2)は、違います。 ♯1に「limの中の式の変数名と衝突さえしなければ」 と書いておきました。 f(x) = sin x を f(t) = sin t と書いても f の意味は変わりませんが、 f(x,t) = t sin x を f(t,t) = t sin t と書いたら f(x,t) と f(t,t) は異なる関数です。 一方は二変数、もう一方は一変数関数ですね。 (2)では、二つの h が衝突して 混同されているのです。
- alice_38
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式(1)は、合っています。 関数 f(x) = sin x のことを f(t) = sin t と書いても f の意味は同じだったり、 総和変数を Σ[k=1…n] a(k) と書いても Σ[j=1…n] a(j) と書いても同じ式 だったりするのと同様に、 lim の変数も、lim の中の式の変数名と衝突さえ しなければ、適当に置き換えて構いません。 ここまでは、微分や極限とは直接関係がない、 変数名についての単純な話です。 しかし、「もともと、h は十分小さい」云々 の箇所を見ると、何か変な誤解をしている印象 が拭いきれません。 貴方が何に戸惑っているのか、 もう少し詳しく聞いてみたい気がします。
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補足
回答ありがとうございます。 もしも、(1)が正しいと仮定すれば、 ∂u/∂y ＝lim(h→0)1/h｛u(x,y＋h)-u(x,y)｝ ＝lim(h→0)1/h｛1/h(f(x＋h,y＋h)-f(x,y＋h)-f(x＋h,y)＋f(x,y))｝ ・・・・（２） という式でかけてしまう。 すなわち、yの微小変化量をxの微小変化量と同じ量で近づくことを意味する。 「もともとhは十分小さい」という書き方はあまりよくないですね。 すみません。 そうなると、(2)の式は間違っていますか？ ∂f/∂xの存在性、∂u/∂yの存在性の仮定からしても yの微小変化量をxの微小変化量と同じと考えても (2)で表せると思って、 さらには偏微分の順序交換fxy＝fyxが成り立つ証明にも使えるのでは ないかと。