確率の問題です

質問

数学の問題がどうしても解けません。誰か助けて下さい。

ＡとＢが次のような賭けを行う。
１、双方が１円ずつだす。
２、Ａがさいころを振って、３以上の目が出たらＢの勝ちで、それ以外の目が出たらＡの勝ちとする
３、勝った方が、全額(２円)を自分のものにする
最初の所持金はＡがｍ円、Ｂはｎ円とする。この賭けを、所持金がなくなるまで続けるとき、最終的にＡが勝つ確率を求めよ。ただし、ｋ円持っている人が最終的に勝つ確率をＰkとし、Ａの勝つ確率を求めよ。

そうとう悩んでます。よろしくお願いします。

回答No.5

f272 · ベストアンサー

#1,#4さんへ
> このときのBの所持金はどうやって考慮されているのでしょうか。
この賭けではAとBの所持金の和は一定でm+n(=Tとしましょう)です。
だからP(k)を計算するとすれば，Aの所持金はk，Bの所持金はT-kと決まってます。
このときのAのかつ確率はkとT-kの関数，つまりkの関数です。

しかし，例えばT=3のときのP(2)と，T=2のときのP(2)は異なります。
P(k)はTを固定したときの確率で，その前提で漸化式が成り立つのです。

> これをその漸化式にいれるとどうも成り立ちません。
それはTを固定しないで考えているからです。

また
> A=3,B=1で　P(3)=53.3%
これは間違っています。
A=3,B=1，つまりT=4で　P(3)=46.7%
が正しい計算です。
A=3,B=1，つまりT=4のとき，P(0)=0とP(4)=1は自明であり，このとき
(1)確率1/3でA=4,B=0になってAの勝ちで終わり。
(2)確率2/3でA=2,B=2になり，その後
(2-1)確率(2/3)*(1/3)でA=3,B=1になり元通り。
(2-2)確率(2/3)*(2/3)でA=1,B=3になる。さらにその後
(2-2-1)確率(2/3)*(2/3)*(1/3)でA=2,B=2になり
(2-2-2)確率(2/3)*(2/3)*(2/3)でA=0,B=4になってBの勝ちで終わり。
以上から
P(3)=(1/3)*1+(2/9)*P(3)+(4/27)*P(2)+(8/27)*0
P(2)=(1/3)*P(3)+(2/9)*P(2)+(4/9)*0
従って
(7/9)*P(3)=(1/3)+(4/27)*P(2)
(7/9)*P(2)=(1/3)*P(3)
となって
P(2)=1/5
P(3)=7/15
また，別計算でA=1,B=3,T=4のときP(1)=1/15ですから
漸化式
P(1)=(2/3)*P(0)+(1/3)*P(2)
P(2)=(2/3)*P(1)+(1/3)*P(3)
P(3)=(2/3)*P(2)+(1/3)*P(4)
はすべて成り立っています。

回答No.4

sono0315

#1ですが、

＃３さんの漸化式のP(k)とかはどういった扱いなんでしょうか
P(k)=(2/3)*P(k-1)+(1/3)*P(k+1)　となってますが、

例えばk=2のとき(Aが所持金2円のときの勝つ確率)
P(2)=(2/3)*P(1)+(1/3)*P(3)
となりそうですが、このときのBの所持金はどうやって考慮
されているのでしょうか。

Bが1円のときの計算はしてますが、
A=1,B=1で　P(1)=33.3%
A=2,B=1で　P(2)=42.9%
A=3,B=1で　P(3)=53.3%

これをその漸化式にいれるとどうも成り立ちません。

回答No.3

f272

#2の人は少し勘違いをしているようだ。
Aが勝つのは1，2の目が出たときでその確率は1/3だから漸化式は
P(k)=(2/3)*P(k-1)+(1/3)*P(k+1)
であるべき。これとP(0)=0, P(m+n)=1があれば，あとはできるでしょう。

回答No.2

humungus

P(k)=1/3*P(k-1)+2/3*P(k+1)

回答No.1

sono0315

一応いくつかのパターンを計算してみました。
（合ってるかわかりません）

A＝B＝1円のとき
33.3%

A＝2円、B=1円のとき
42.9%

A=B=2円のとき
20%

A=3、B=1のとき
53.3%

>>ただし、ｋ円持っている人が最終的に勝つ確率をＰkとし
とありますが、上記のようにAが所持金2円でスタートする
場合というのはBの所持金によって異なるので難しい議論となります。

あってるかわかりませんが、上に書いた1～3円くらいの所持金の計算結果から、なにか参考になればいいです。