- 締切済み
等号成立
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
みんなの回答
最初に、参考意見である事をお断りします。 高校生の方だと思います。他の皆さんの解法が正統的なものです。 以下のやり方は、受験勉強などにおいて、余りこだわって欲しくない方法ですが（正統的な解法が大事です）、まさに試験時の緊急避難措置には使えるかも知れないと思って、参考として書きます。 自分は大学で、構造物の数値解析が専門でしたが、構造物の対称性に注意すると、数値計算をするまでもなく、答えがわかる場合があります。これは、そんな発想です。 aa+bb+cc＝ab+bc+ca の右辺を見ると、(a，b)，(b，c)，(c，a)の組について対称なのがわかります（交換しても結果かわらず）。しかし左辺は、そうでありません。このような時、両辺の対称性の差を利用すると、思わぬ結果が出ます。 実際、右辺で(a，b)を交換します。左辺は右辺に等しいので、左辺で(a，b)を交換しても「＝」のはずです。 ba+ab+cc＝ab+bc+ca＝aa+bb+cc なので、最左辺＝最右辺とおいて、 2ab+cc＝aa+bb+cc 2ab-aa-bb＝0 a(b-a)+b(a-b)＝0 (a-b)(b-a)＝0 (a-b)^2＝0 より、a=bです。同様に、(b，c)，(c，a)を交換して、 (b-c)^2＝0，(c-a)^2＝0 を導けます。 もう一回言います。参考です。
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧0 からその不等式は導かれます。 なので等号成立は (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 のときですが、 (a-b)^2、(b-c)^2、(c-a)^2は負にはならないので (a-b)^2=0、(b-c)^2=0、(c-a)^2=0 よって a=b=cのみ だと思います
- nag0720
- ベストアンサー率58% (1093/1860)
aa+bb+cc-(ab+bc+ca)={(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2 これが0になるのは、a=b=cのときのみです。
- -somebody-
- ベストアンサー率79% (19/24)
もしもベクトルの内積についてご存知でしたら 空間ベクトルの内積を考えることで(比較的あっさり)解決可能です。(ベクトルをご存じなかったらごめんなさい。) 二つのベクトル → x(a,b,c) と → y(b,c,a) を考えます。 すると 内積の定義より → → → → x・y＝ab+bc+ca=|x||y|cosθ=(a^2+b^2+c^2)cosθ となります ここで -1≦cosθ≦1 なので ab+bc+ca≦a^2+b^2+c^2 となり cosθ=1となるときに統合が成立しますが cosθ=1となるときは ベクトルxとyの方向が一致する時なので a=kb b=kc c=ka (kは任意の実数の定数) となり これを解くと a=b=cが得られます。 もしかしたらベクトルをご存じないかもしれません。 一応論理で証明する方法があった気がするのですが 思い出せませんでした。 ごめんなさい。
関連するQ&A
- 不等式の証明(やや発展)
お世話になっております。 a,b,cは実数、a+b+c=0であるとき、不等式 (|a|+|b|+|c|)^2≧2(a^2+b^2+c^2) を証明せよ。また、等号が成立つときはどのようなときか。 という証明問題について質問です。証明自体はそれほど難しくは無いのかな、と思ってますが…。 a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=0-2(ab+bc+ac)と出来ますから、 左辺-右辺=-{(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca}+2(|ab|+|bc|+|ca|)=2{(|ab|+ab)+(|bc|+bc)+(|ca|+ca)}…(1) 常に、|ab|≧-abであるから、|ab|+ab≧0、(bc、caについても同様)であるから、(1)≧0。与えられた不等式は成立つ。 ここで質問。等号成立条件が分かりません。不等式の証明より、|ab|=-ab(bc、caも同様)が成立つ時だと思うのですが略解によると、 a、b、cの少なくとも一つが0であるときなのだそうです。何故でしょう…。 a,b,cのうち少なくとも一つが0 ちゅうことは、a=0またはb=0またはc=0 ということになろうかと思います。ということは、更にabc=0 という式も言えるハズです。しかし、当方の不等式の証明の仕方が不適切なのか、abc=0 を導く根拠が見当たりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 等号の成立条件
コーシー・シュワルツの不等式の等号の成立条件がわからないので質問します。a^+b^+c^=1,x^2+y^2+z^2=1のとき 不等式-1≦ax+by+cz≦1を証明せよ。という問題で、不等式の証明はできたのですが、等号の成立条件がわからなかったです。左の等号が成り立つのは、a:b:c=-x:-y:-zかつa^+b^+c^=1かつx^2+y^2+z^2=1のとき。右の等号が成り立つのは、a:b:c=x:y:zかつa^+b^+c^=1かつx^2+y^2+z^2=1のとき。左の等号の成立条件のa:b:c=-x:-y:-zがわかりません。インターネットで少し調べて、→u=(a,b,c),→v=(x,y,z),→uと→vのなす角θとして内積よりコーシー・シュワルツの不等式を調べてみたのですが、分からなかったです。どなたか、左の等号の成立条件を教えてくださいお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- |a|-|b|≦|a-b| 等号成立
|a|-|b|≦|a-b| の証明は (1)|a|-|b|<0のとき (2)|a|-|b|≧0のとき の2つの場合分けで解いて証明する、ということは分かりました。 ですが、等号成立が分かりません。 (2)の方は、(2)の両辺2乗して整理すると2(|ab|-ab)>0となるので、等号成立は|ab|-ab=0 つまりab≧0のとき、だと思うのですが、(1)の方の等号成立が分かりません。 絶対値の証明がかなり苦手なので、詳しく解説していただけるとありがたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ヤングの不等式の等号成立について
ヤングの不等式ab≦(a^p)/p+(b^q)/qで 等号成立がa^p=b^q とあるのですが、これの証明ってどうやるのでしょうか？ どの本を見ても「明らか」としか書いてないので・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明と命題の真偽(基本的)
お世話になっております。 実数a、b、cに対して、 等式 |a|+|b|+|c|=|a+b+c|…P が成立つことは、ab+bc+ca≧0 …Q が成立つための○○条件である。(○の数は特に意味なし) という問題です。証明も合わせて(不等式を証明して、等号成立条件を調べてから命題を考えてみたかった為)以下のように考えてみました。 まず証明。 与えられた等式を考える前に、不等式 |a|+|b|+|c|≧|a+b+c|…(2)を証明する。 (2)の両辺は正または0であるから、両辺の二乗の差を考えて (|a|+|b|+|c|)^2-|a+b+c|^2 =2{|ab|+|bc|+|ca|-(ab+bc+ca)} =2{(|ab|-ab)+(|bc|-bc)+(|ca|-ca)}…(3) ここで、|ab|≧ab,|bc|≧bc,|ca|≧ca だから、(3)≧0。従って不等式(2)は成立つ。等号成立は、ab≧0,bc≧0,ca≧0…(4) より、ab+bc+ca≧0 の時に限る。 よって、等式Pが成立つとき、a,b,cはQを満たす。(ここが一番曖昧です) 逆にQが成立つとき、(4)が成立つから、積の場合分けで導かれる二つの場合で、 a≧0かつb≧0かつc≧0 のときは、Pは成立つ。 a≦0かつb≦0かつc≦0 のときはPは、 左辺=-a-b-c=-(a+b+c)=右辺 より成立つ。 以上より、○○は必要十分条件が適当と思す。 以上、拙いですが頭捻ってみました。当方が微妙だと感じるのは、不等式の証明についての説明部分(解答ではb+cを一括りにしてaと(b+c)の二変数と考えて、二変数については不等式が成立つことを利用して証明してました)と、既に書いた通り、条件Pが十分条件であることの説明部分(こちらは解答なし)です。 長ったらしい文で恐縮ですが、閲覧ついでにご回答いただけると嬉しいです。宜しくどーぞ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- a≧1、b≧1、c≧1のとき次の不等式が成り立つことを示せ。
(a^3-1/a^3)+(b^3-1/b^3)+(c^3-1/c^3)≧3(abc-1/abc) (左辺)-(右辺)＝Pとおく。 P=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) -(1/a+1/b+1/c)(1/a^2+1/b^2+1/c^2-1/ab-1/bc-1/ca) a≧1、b≧1、c≧1であるから、 a+b+c≧3≧1/a+1/b+1/c＞0・・・(1) (1)により(a^2-1/a^2)+(b^2-1/b^2)≧2(ab-1/ab) (b^2-1/b^2)+(c^2-1/c^2)≧2(bc-1/bc) (c^2-1/c^2)+(a^2-1/a^2)≧2(ca-1/ca) 辺々を加えて、両辺を2で割ると a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≧1/a^2+1/b^2+1/c^2-1/ab-1/bc-1/ca =1/2{(1/a-1/b)^2+(1/b-1/c)^2+(1/c-1/a)^2} ≧0・・・(2) (1)、(2)によりP≧0 したがって、与えられた不等式は成り立つ。 等号はa=b=cのとき成り立つ。 >(1)、(2)によりP≧0 自分にはこれでは分かりづらいです。 具体的に数字決めて確かめては見たのですが、何かスッキリしません。 もう少し分かりやすく説明して頂けると幸いです。 >等号はa=b=cのとき成り立つ。 これはどこから導けばいいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 等号成立条件の見つけ方 問題付きです
この（2）の等号成立条件の見つけ方が分かりません。どのように見つけるのでしょうか？等号成立はa=b=c=dです。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 至急お願いします！！
問題 a,b,cを実数とするとき、次の不等式を証明しなさい。また、等号が成り立つのはどんな時か。 （1）a*2+b*2+c*2≧ab+bc+ca これが、成り立つのはわかりました。 （2）a*4+b*4+c*4≧abc(a+b+c)の証明で、解答が （1）を利用して、 a*4+b*4+c*4≧a*2b*2+b*2c*2+c*2a*2=(ab)*2+(bc)*2+(ca)*2 ≧(ab)・(bc)+(bc)・(ca)+(ca)・(ab)=abc(a+b+c) となってるんですが・・・いまいち式の変形が理解できません。 特に、最後の一行への変形が・・・・・・ *2は、二乗。*4は、四乗の意味です。 教えてください・・・・・お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 条件付きの最小値(高校数学)
「a,b,cは正でab+bc+ca=1のときa+b+cの最小値を求めよ」 という問題の模範回答が (a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=1/2{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}≧0 よりa+b+c≧√3 よって最小値は√3(等号成立はa=b=c=1/√3のとき) とあったのですが、模範解答以外の解き方はないでしょうか？ もしあるならば、どなたか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
