シャボン玉の実験をしました。数学的な証明を教えてください。

質問

YAHOOの知恵袋にも投稿したのですが，
急ぎの質問なのでこちらでも聞かせていただきます。

シャボン玉の実験をしました。
シャボン玉の表面張力の関係で，
円柱状のシャボン膜の高さがある高さ以上になると，
球になった方が表面積が小さくなるということです。

実際に実験してもそのような結果が出ました。

しかし，本にも書いてあるんですが（リンク先の画像参照），
この本にマークした部分の数学的な証明方法が分かりません。
どうやったら，３．１４（π）と証明できるんでしょうか？
数学的な証明を教えてください。

ちなみに出版社にも連絡してみたんですが，
これを執筆した先生に連絡が取れないと言うことです。
宜しくお願いします。

リンク↓
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1030814235

【補足】 マークした部分が見づらいので，ここに書きます。

＊＊＊

数学的にも証明できます。ある長さになったとき，
筒の状態でいるよりも２つの球に分かれたほうが，
表面積が小さくなることが証明できればいいわけです。

紙面の都合でここでは省きますが，自分でやってみてください。
おもしろいことに円周率３．１４という数字がでます。
上の実験結果ともよく一致します。

＊＊＊

中学生のための 理科の自由研究 実例集 より
株式会社 誠文堂新光社

回答No.3

arrysthmia

二つの半球へとチギレない間の石鹸膜の形は、
円筒じゃなくて、中央がややクビレているのでは？

補足

観察した結果，
筒が伸びている間はほとんど円筒の形なのですが，
2つの球に分かれる直前にくびれが生じるようです。

貴重なご意見ありがとうございました。

回答No.2

at9_am

実際の計算は面倒ですから割愛しますが、概ね次のようになると思います。

せっけん液の体積が変わらないという前提の下で考えれば、上下の円の半径をr、高さをhとして、円筒状の場合
外側:2πr
内側:2π(r-d)
なので表面積の面積は（側面積だけなので）
2π(2r-d)h
となります。ここでせっけん液の体積 V は変わらないので
V = πhr^2-πh(r-d)^2 = πh(2rd - d^2)
から、
d = r + √(r^2 - V/πh)
となることがわかりますから、

あとは二つの球の表面積を考えれば、大きさは同じなので
4π{2r^2 -2rd +d^2}
となり、せっけん液の体積は変わらないことから
V = 4/3 π{r^3 - (r-d)^3} = 4/3 π{3r^2 - 3rd + d^2}d
となりますから、dをVで表すことができるはずです。

あとは、円筒と球の表面積を比較すればよいでしょう。

もうちょっとエレガントな方法がありそうなのですが・・・。

お礼

先日は私たちの質問に丁寧に答えてくださり，
ありがとうございました。

科学作品展の〆切直前，中学３年生の私たちには
最後の計算方法が全く思いつかず，
完全にお手上げ状態だったのですが，
回答者様のおかげで希望が見えてきたように思います。

研究グループ一同本当に感謝しています。
親切な回答，本当にありがとうございました！

補足

科学作品展の〆切直前，行き詰まっていた
私たちにようやく救いの手が……！！

なるほど，円筒の内側の面積と外側の面積，
両方合わせたものが表面積という考え方をするのですね。
思いつきもしませんでした(^^；
すぐにでも先生や同じ実験グループのメンバーに知らせて，
協力して計算してみようと思います。

貴重なご意見，本当にありがとうございました。

回答No.1

ItachiMasamune

円柱と二つの球とはどんな形かもう少し詳しく書いた方が答えやすいかと…
時間経っても回答が無いので…

補足

そうですね…
もう少し内容を整理してみて，
可能な限り詳しく書いてみようかと思います。
貴重なご意見ありがとうございました。