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緊急！ この数IIICの問題を解いてください！
masamine18の回答
- masamine18
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根本的に数学の基本は自分で考えることです。 全く自分で考えずに答えだけ求めても何の勉強にもなりません。 解く前のアドバイスとしてはグラフや図形問題は実際に描いてみる事が重要です。それと、小問に分けられている場合はそれぞれの小問が後の問題に続いていることが多いのが基本です。 大学入試レベルになると、そのプロセスを自分で導いていかなければいけないものも多くなりますが…
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体積が1である四面体OABCがあり、辺OAの中点をD、三角形ABCの重心をG、 線分AGの中点をM、辺OBをt:1-t (0<t<1) に内分する点をPとする。 (1)OMベクトルをOAベクトル、OBベクトル、OCベクトルを用いて表せ。 (2)平面DMPと辺BCの交点をQとするとき、OQベクトルをtとOBベクトル、OCベクトルを用いて表せ。 また、BQ:QCをtを用いて表せ。 (3)(2)の点Qに対し、四面体ODPQの体積Vとするとき、Vをtを用いて表せ。 また、tが0<t<1の範囲を変化するとき、Vの最大値を求めよ。 (1)は、OMベクトル=2/3OAベクトル+1/6OBベクトル+1/6OCベクトル (2)は、OQベクトル={(3t+1)/2(t+1)}OBベクトル+{(1-t)/2(t+1)}OCベクトル，BQ:QC=1-t:3t+1 となりましたが、(3)が全く分かりません。 ヒントでも構いませんが、出来れば解答、解説をお願いします。
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問1次の微分・定積分を求めなさい。 (1) d/dx(e^(-x^2)) (2) ∫(0→π) x*sin(x) dx (1) d/dx(e^(-x^2)) =-2x*e^(-x^2) (2) ∫(0→π) x*sin(x) dx = π 問2 2つの行列に A= (4 -5) (2 -3) P= (5 1) (2 1) について以下の各問に答えなさい。 (1)行列Pの逆行列P^(-1)を求めなさい。 P^(-1)= (1/3 -1/3) (-2/3 5/3) (2)(P^(-1)AP)^(n)を求めなさい。 P^(-1)AP= (2 0) (0 -1) (P^(-1)AP)^(2)= (4 0) (0 1) (P^(-1)AP)^(n)= (2^n 0 ) (0 (-1)^(n)) (3)(2)の結果を用いてA^nを求めなさい。 (P^(-1)AP)^(n)= P^(-1)APP^(-1)APP^(-1)APP^(-1)APP^(-1)AP・・・AP (P^(-1)AP)^(n)=P^(-1)A^(n)P 上式より A^n=P(P^(-1)AP)^(n)P^(-1) A^n= ((5*2^n)/3-(2*(-1)^n)/3 , -(5*2^n)/3+(5*(-1)^n)/3) ((2^(n+1))/3-(2*(-1)^n)/3 , -(2^(n+1))/3+(5*(-1)^n)/3) 問3 原点(0,0)、点A(2,1)がある時，以下の各問に答えなさい。 (1)点Aに対してx軸に関して線対称な点Bを求めなさい。 B=(2,-1) (2)OA，OB，|OA|，|OB|を求めなさい。それらを使い∠AOB=θとした時のcosθとsinθの値を求めなさい。（OA,OBはベクトルである。） OA=<2,1> OB=<2,-1> |OA|=√(5) |OB|=√(5) cosθ=3/5 sinθ=4/5 (3)点Aを原点の周りに反時計周りに45°回転させた点Cの座標を求めなさい。 C=(√2/2, 3√2/2) 問4曲線y=x^2と，曲線y=√x (x>0)によって囲まれた部分の面積を求めなさい。 S=∫(0→1) √x - x^2 dx =1/3 答えがないため，解答のチェックができません。僕なりにといた解答をのしているのですが，わかるひとがいれば解答のチェックをお願いします。
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１ 無限等比級数 eの-x乗sinx+eの-2x乗×(sinx)の2乗+eの-3x乗×(sinx)の3乗+…を考える。0≦x≦2πのとき次の問いに答えよ (1)この級数は収束することを示せ (2)この級数の和をf(x)とするとき、f(x)の最大値、最小値を求めよ ２ aは実数の定数としf(x)=ax+eの-x乗×sinx g(x)=eの-x乗×(cosx-sinx)とする (1)y=g(x)(0≦x≦2π)のグラフの概形をかけ。 (2)f(x)が区間0＜x＜2πで極小値を持たず極大値をひとつだけ持つときaの取り得る値の範囲を求めよ
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∂^2u/∂t^2=c^2*∂^2u/∂x^2 u(0,t)=0,u(L,t)=0 (すべての時間tに対して) u(x,0)=f(x) ∂u/∂t|t=0(t=0での速度)=g(x) u(x,t)=F(x)G(t) ∂^2u/∂t^2=F*G'' ∂^2u/∂x^2=F''*G FG''=c^2*F''*G G''/(c^2*G)=F''/F=k(定数) F''-k*F=0……(1) G''-c^2*k*G=0……(2) (i)(1)の解を求める G(t)≣0(≣は、3本線のイコールです) u(x,t)=0 u(0,t)=u(L,t)=0 G(t)≠0(≠は、3本線のイコールの否定です) F(0)=F(L)=0……(3) k<0のとき、k=-p^2とおく F''-p^2*F=0 F=exp[m*x]とおく m^2+p^2=0 m=±pi F''+α*F'+β*F=0 α^2-4*β=-4*p^2<0 F(x)=A*cos(p*x)+B*sin(p*x) F(0)=A=0 F(L)=Bsin(p*L)=0 B≠0でなければならない。 sin(p*L)=0 p*L=n*π(nは整数) p=n*π/L したがって、 F(x)=B*sin(n*π*x/L)……(4) n<0のとき m=-n F(x)=-B*sin(m*π*x/L) n=0のとき F(x)=0 nは自然数 なんで、nは自然数でなければいけないんでしょうか？ n<0ではいけないんでしょうか？ 教科書に、 (4)は式(3)を満たす。 sin(-α)=-sin(α) であるので、nが負の整数のときには、式(4)の解の符号が変わるだけで同じ解が得られる。 とあります。 教科書と言っていることが逆のような気がします。 n<0のときも解でいいんでしょうか？ これは、調和振動のことについてらしいんですが、教科書には、nが自然数のときの図しか書いてありませんでした。 なんで、n<0のときの図がないのか不思議です。 教科書が、矛盾しているんでしょうか？ また、 G(t)≣0 は、すべてのtに対して0ということを言いたいんでしょうか？
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この数学的帰納法を用いた証明問題がわかりません。 （２）n 回微分可能な関数f(x) のn 次導関数をf^(n)(x) で表しf^(0)(x) = f(x) と定 義するとき，次の公式(Ｐ) が成立する．以下の問(ａ), (ｂ) に答えなさい． (Ｐ)d^n/dx^n ( e^xf(x) ) =Σ(r=0からn)ｔ(n r)e＾xf＾(r)(x) （ n ≧ 1, t(n r)=n!/( r!(n - r)! ) ） (ａ) g(x) = x^2e^x のn 次導関数g^(n)(x) を求めなさい． (ｂ) 数学的帰納法を用いて公式(Ｐ) を証明しなさい．ただし，必要であれ ば次の性質を用いてよい． t(n ,r - 1)+t(n,r)=t(n + 1,r) （r ≧ 1; n ≧ r） -------------------------------------------------------------- 画像が見づらくて申し訳ありません。 (a)はh(x)=x^2と置くと、 g^(n)=d^n/dx^n( e^xh(x) )=Σ(rからn)e^x h^(r) (x) これで合っていますか？ (b)は n=1のときは明らかに成り立つ。 n=k(kは自然数)のとき成り立つと仮定し、n=k+1のときの式変形がどうもうまくいきません。 (n≧3のときh^(n)=0であるのはわかります。) どなたか解説をよろしくお願いします。
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なぜこう置くのか教えてください。 以下のような問題の解答が理解できないので、教えてください。 問題 区間[－X/2,X/2]を周期とする周期関数のフーリエ展開は次式で与えられることを示しなさい。 ↓次式の画像 http://www.fastpic.jp/images.php?file=8628989078.jpg 以前教えていただいた解答は以下の通りなのですが、理解できないところがあります。 解答↓ Xを周期とする周期関数をf(x) g(t)=f(Xt/(2π))とすると g(t+2π)=f(X(t+2π)/(2π))=f(Xt/(2π)+X)=f(Xt/(2π))=g(t) g(t)は2πを周期とする周期関数だから g(t)のフーリエ展開は g(t)～{(a_0)/2}+Σ_{n=1～∞}{(a_n)cos(nt)+(b_n)sin(nt)} a_n=(1/π)∫_{-π～π}g(t)cos(nt)dt b_n=(1/π)∫_{-π～π}g(t)sin(nt)dt だから x=Xt/(2π)とすると -π<t<π→-X/2<x<X/2 t=2πx/X dt=(2π/X)dx ∴ f(x)～{(a_0)/2}+Σ_{n=1～∞}{(a_n)cos(2nπx/X)+(b_n)sin(2nπx/X)} a_n=(2/X)∫_{-X/2～X/2}f(x)cos(2nπx/X)dx b_n=(2/X)∫_{-X/2～X/2}f(x)sin(2nπx/X)dx 理解できなかったところ (1)なぜg(t)=f(Xt/(2π))とするのか？その理由。 (2)f(Xt/(2π)+X)=f(Xt/(2π)) これはなぜか。 (3)g(t)は2πを周期とする周期関数と言えるのはなぜか？ (4)x=Xt/(2π)とすると -π<t<π→-X/2<x<X/2 t=2πx/X dt=(2π/X)dx なぜx=Xt/(2π)とおいてこういった計算をするのか。 (5)g(t)～{(a_0)/2}+Σ_{n=1～∞}{(a_n)cos(nt)+(b_n)sin(nt)} が f(x)～{(a_0)/2}+Σ_{n=1～∞}{(a_n)cos(2nπx/X)+(b_n)sin(2nπx/X)} に変更されるのはなぜか。g(t)がf(x)に置き換えられているが、どうしてそうすることができるのか。 以上の5点を教えてください。
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