連立微分方程式

質問

この微分方程式が解けません。
ご教授願います。

kは正の定数とする

{x1}" = d(2){x1}/dt(2)
{x2}" = d(2){x2}/dt(2)

として、

連立微分方程式
_
| {x1}" = -k{x1}-k({x1} - {x2})
<
|_{x2}" = -k({x2} - {x1})-k{x1}

の一般解を求めよ。

どうしても解けません。

解き方を教えてもらいたいです。

よろしくお願いします

回答No.5

orcus0930

No4.の方の解法を知っておくほうがよいと思います。
ポイントは、問題自体は「２階」の微分方程式であるにもかかわらず、
変数を変換していくと、
本質的に解くべき微分方程式が、x'=Ax の「１階」の微分方程式になっていることです。
ジョルダン標準形を使って求めてもいいんですが、
一発で、x'=Axの解はx=exp(A)*x[0]としてしまうのが早いと思います。
exp(A)は遷移行列と呼ばれるものです。逆ラプラス変換を用いることで、
機械的に求めることができます。
知らなかったら一度遷移行列に関して勉強されるとよいかと思います。

線形の微分方程式なら、この手法で、１階の微分方程式まで微分方程式を簡単（微分方程式の解法が明確になるという意味で）にできるので、一度勉強されるとよいと思います。物理学に関連しますが「状態方程式」で調べるとよいかと思います。

お礼

そうですか。
ありがとうございます！
どっちも勉強してみます。

回答No.4

reiman

一般に
{x1}"=a{x1}+b{x2}
{x2}"=c{x1}+d{x2}
の場合には
{x1}'={x3}
{x2}'={x4}
{x3}'=a{x1}+b{x2}
{x4}'=c{x1}+d{x2}
とすると
x=
[x1]
[x2]
[x3]
[x4]
とおき
A=
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]
[a b 0 0]
[c d 0 0]
とおく。
すると方程式は
x'=Ax
となる。
Jをジョルダン標準形,Pを正則行列として
P^-1AP=J
となるとする。
x=Pyと変数変換すると方程式は
y'=Jy
となり
解は
y(t)=exp(Jt)y(0)
と一気に求まる。
結局
x(t)=Pexp(Jt)P^-1x(0)
となる。
exp(Jt)は規則的な簡単な行列になることに注意。

お礼

なるほど～。
ありがとうございます。

回答No.3

reiman

２式を辺々足したものと
２式を辺々引いたものは
どうなる。

回答No.2

reiman

カット＆ペースト中にゴミが入ったようです。直します。

質問に難点があります。

-k{x1}-k({x1} - {x2})
とは
-k(2{x1}-{x2})
のことなのか？

-k({x2} - {x1})-k{x1}
とは
-k({x2}-{x1}+{x1})=k{x2}
のことなのか？

お礼

すみません。二行目は
-k({x2} - {x1})-k{x2}
でした。。。

補足

確かに
-k{x1}-k({x1} - {x2}) = -k(2{x1}-{x2})
だと思います。
ただそれが問題文であったので，
略しちゃって良いものではないんだと思いまして

こちらも
-k({x2} - {x1})-k{x1} = -k({x2}-{x1}+{x1})=k{x2}
であると思われます。

回答No.1

reiman

質問に難点があります。
-k{x1}-k({x1} - {x2})
とは-k({x2} - {x1})-k{x1}
-k(2{x1}-{x2})
のことなのか？

-k({x2} - {x1})-k{x1}
とは
-k({x2}-{x1}+{x1})=k{x2}
のことなのか？

このサイトには意味不明の質問をする人がままいるのが難点なのです。