- ベストアンサー
積分
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
基本は、#1さんの言われるように、部分積分からm、nを添え字とする漸化式を求めて、m、nの値を±1、0の積分できる値にまで下げることです。 ただし、3番目の問題は、2番目が解ければm=2、n=3を当てはめればよいのですが、 {cos(x)}^2=1-{sin(x)}^2 の公式を使って被積分関数を変形させれば、すぐに不定積分(合成関数の積分)が実行できます。 {sin(x)}^3/3 - {sin(x)}^5/5 +C
お礼
回答ありがとうございます。
関連するQ&A
- 不定積分の問題
不定積分の問題です。mを自然数とするとき、 n (1)∫(cosx)^(2m-1)dx=Σa(k)(sinx)^k+C k=1 (Cは積分定数) (a(k)のkは添え字です。) を満たす自然数nおよび実数a(k)(k=1,2,…,n)を求めよ。 (2)f(t)を多項式とするとき、 ∫f(cosx)dx-∫f(-cosx)dx=g(sinx)+C (Cは積分定数) を満たす多項式g(t)が存在することを示せ。 という問題です。 (1)はn=2m-1 a(k)=0(k=2.4.…n-1) (k=1,3,…n)のときは式が複雑なので記載するのは控えます。 分からないのは(2)で解答には n f(t)=Σb(k)t^k とおけるので、n=2L-1とおくと k=0 L f(t)-f(-t)=Σ2b(2m-1)t^(2m-1) m=1 となっているんですが、なぜ n=2L-1とおくのか、f(t)-f(-t)の右辺のΣのmが1→L なのかがわかりません。 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の問題で分からないことがあります。
{2-sinx+(sinx)^2}/cosxをπ/6から0で積分しろという問題でt=sinxと変数変換するということはどのようにして決められるのですか。また、√(a^2-x^2)をaから0で積分する問題でx=a*sintと変換する訳も出来ればお教え下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分区間
積分区間(0→π)sinx/(2-(cosx^2))を積分する問題です。よろしくお願いいたします。 解答はこれをcosx=tと置換しているのですが、私は、解答を見る前は自分では、sinx=tと置換しました。が、置換するときに置換範囲で困ってしまいました。というのもxが(0→π)のとき、tの積分範囲は0→0になってしまったからです。でも、この場合xが(0→π)のときsinxは0≦sinx≦1と動くので、積分範囲は置換後0→1となるのでしょうか?でもなんだかおかしいような気がします。でもなにがおかしいのかわかりません。 そもそもsinx=tと置換すること自体が間違いなのでしょうか?それとも、sinx=tと置換するのも間違いではないが、その場合は、・・・その場合は範囲はどうなりますか? よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- cos の積分について
∫1/(1-aCOSx)^3 dx-∫(1-a^2)(SINx)^2/(1-aCOSx)^5 dx a:定数 第1項、2項目ともに積分法が良くわかりません。 一応考えてみたのが TANx/2 = t とおき COSx = (1-t^2)/(1+t^2) SINx = 2t/(1+t^2) dx = 2/(1+t^2) として考えてみましたが、やはりできません。 解き方がわかるかたいましたら、ヒントだけでも お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この積分の問題教えてください
この問題の答えが無いので教えてください。 自分なりに解いたのですが、合ってるでしょうか? ∫[0,π/2] 1 / sinx+cosx dx tan(x/2)=t とおくと、 dx=2/(1+t^2) dt cosx=(1-t^2)/(1+t^2) sinx=2t/(1+t^2) となる。 置換した後の積分範囲は、 x|0→π/2 t|0→ 1 ∫[0,π/2] 1 / sinx+cosx dx = -2∫[0,1] 1 / t^2-2t-1 dx 分母を平方完成して = -2∫[0,1] 1 / (t-1)^2-2 dx 公式:∫[1 / x^2-a^2] = 1/2a log|x-a/x+a|なので =1/√2 log|(-√2-1) / (√2-1)| logの中が汚いかんじで合ってるか不安です。 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 1/(a+btanx)の積分
タイトル通りなのですが、 (1)sinxを置換する方法 (2)t=tan(x/2)と置換して、cosx,sinxをtで置く方法 (ax+log|acosx+bsinx|)/a^2+b^2となることは 分かっているのですが、途中の積分が解けません。 例.∫1/(a√(1-t^2)+bt)*2/(t^2+1)dt 簡単なほうでいいので、積分の経路を示して いただけないでしょうか? よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分がわかりません
いくつかわからないので教えていただきたいです。∫は省略します。 まずlog(1+√x)dxですが、t=√xと置換してdx=2tdtとなり 2tlog(1+t)dtとなります。しかしここからのやり方がわかりません。 次にcos^3xsin^2xdxですが、部分積分を使ってやってみたのですがどうもうまくいきません・・・しかし部分積分を使うのは間違いなさそうなんです。 次に(1/(x^3-x))dxですが、この式は1/x(1-x)(1+x)に変形できます。 分母が2つの掛け算ならば部分分数にできるのですが3つの掛け算なのでどうしたらいいのかわかりません。 次に(x/(x^3+1))dxですが、この式をx/(x+1)(x^2-x+1)と変形したあとのやり方がわかりません。 最後に、これが一番聞きたいことなんですが (1/cosx)dxの積分です。 分子分母にcosxを掛けてcosx/cos^2xとします。 sinx=tとおくと、dx=dt/cosxとなり、最初の式はdt/(1-t^2)になります。 部分分数にして1/2∫(1/(1+t)+1/(1-t))dtになります。 よって1/2(log|1+t|-log|1-t|)=1/2log|(1+sinx)/(1-sinx)|になりますよね?? でも、解答にはlog|(1+sinx)/cosx|って書いてあるんです。 どこが間違ってるのかわかりません。 以上長いですが教えていただけたら幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。