数学検定167回の問題

質問

極限値を求める問題です。

分子　A＝(x-1)^(1/2) - (x-5)^(1/2)
分母　B＝(x+1)^(1/2) - (x-2)^(1/2)　とする。
ｘ→無限大　　のとき
lim(A/B）を求めなさい。

という出題がありました。
答えは　4/3　だそうです。

導出が分かる方、お願いします。

回答No.2

tra_tata · ベストアンサー

一筋縄ではいきませんが、基本は無理式の有理化です。

lim[x→∞] (A/B)
=　{√(x-1)-√(x-5)}{√(x+1)+√(x-2)}
　-------------------------------------
　 {√(x+1)-√(x-2)}{√(x+1)+√(x-2)}
lim[x→∞]

　※ 分母分子に、{√(x+1)+√(x-2)}をかけた。

= {√(x-1)-√(x-5)}{√(x+1)+√(x-2)}
　-------------------------------------
　 3
lim[x→∞]

　※ 分母が、3になった。

= {√(x-1)-√(x-5)}{√(x-1)+√(x-5)}{√(x+1)+√(x-2)}
　-----------------------------------------------------
　3{√(x-1)+√(x-5)}
lim[x→∞]

　※ 分母分子に{√(x-1)+√(x-5)} をかけた。

= 4{√(x+1)+√(x-2)}
　--------------------
　3{√(x-1)+√(x-5)}
lim[x→∞]

　※ 分子の前2項を計算して4になった。

= 4{√(1+1/x)+√(1-2/x)}
　-----------------------
　3{√(1-1/x)+√(1-5/x)}
lim[x→∞]

　※ 分母分子を、√xで割った。

=4/3

お礼

早速のご回答、ありがとうございました。

じつは、分母の有理化まではやってみたのですが、
分子も有理化するところに考えが至りませんでした。

大変ありがとうございました。

回答No.1

owata-www

有理化かと

お礼

ご回答ありがとうございました。

ご指摘の通り、キーワードは「有理化」でした。
分母・分子ともに有理化を試みるのがミソだったのですね。

自力では浮かびませんでした。ありがとうございました。