回答のための思考方法をご指導下さい

質問

本屋で立ち読みしていた書籍に載っていた問題なのですが、答えを得るために自分の取った方法は論理的ではないので、美しい論理（計算方法）があるのではないかと思い、質問させていただきます。尚、問題のレベルが「中1～高1」となっていたので、そのレベルで習う範囲内で回答が導ける論理でお願いいたします。

あと、若し宜しければ、問題に対する答えがあっているのかどうかも見て頂けると助かります（時間の関係で答えを見ていないと言う事と、書籍名を忘れ確認できない為です）。

問題文［うろ覚えなので、読み難い点はご了承下さい］
≪≫は約数の数を要求する記号です。
≪６≫であれば　≪６≫＝｛1，2，3｝＝3　となる。
では≪Ａ≫＝３，≪Ａ＋１≫＝４　が成立するもっとも小さなＡの値を求めなさい。
尚、ＡもＡ＋１も共に２桁の整数となります。

私の出した答え
　Ａ＝77　（約数は1，7，11）

私がとった方法
・　２桁の整数が条件として与えられているので、Ａ＋１＜１００である。
・　約数には必ず「1」が含まれるので、「Ａ」の約数は「１」の他に２つ、「Ａ+１」の約数は「１」の他に3つと言う事である。
・　『「Ａ」の約数は「１」の他に２つ』と言う事から、素数の組み合わせと推測。
・　考えられる組み合わせを順番に計算した結果、上記答えとなった。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

> 素数の組み合わせと推測。

　推測しただけじゃ駄目で、Ａが素数の組み合わせではない場合の検討もしなくちゃいけません。そこまでやって初めて、「もっとも小さなＡ」だと言える。

Case1: Ａの3個の約数（Ａ自身を除く）のうち、1を除く残り二つがどちらも素数である場合。
Case2: Ａの3個の約数（Ａ自身を除く）の中に素数でないもの（合成数）が少なくともひとつある場合。

　Case1とCase2で全ての場合を尽くしているのは明らかです。

　ご質問では、Case1の場合について検討なさったのですね。検討のやり方として

> 考えられる組み合わせを順番に計算

するよりももっと旨い手もあるけれども、順番にやるのも悪くはありません。というのは、Ａの約数が小さい順に1, p, q (p,qは素数）だとすると、Ａ＜100だから、pは100の平方根より小さい。つまり、pは2,3,5,7の4通りしかないので、順番にやっていけば出来そうだからです。
　ま、計算なさった結果が正しいかどうかはご自身でご確認戴くことにしましょう。それはさておき、

　Case2について検討しましょう。もしaがＡの3個の約数のうちのひとつであって、しかも合成数
a = xy , (a＞x＞1, a＞y＞1)
であるとすると、xとyはＡの約数である。なので、1, x, y, aはどれもＡの約数である。x≠1, y≠1, a≠x, a≠yだから、Ａの約数が3個であるためにはx=yでなくてはなりません。つまり
a = x^2 (xの2乗）
であり、Ａの約数は1, x, x^2である。
　さて、ここで、xは素数です。なぜなら、もしxが合成数
x = uv , (x＞u＞1, x＞v＞1)
であれば、xの約数u,vもまたＡの約数でなくてはならない。そうするとＡの約数は少なくとも4個ある（たとえば1,u,x,a）ことになるからです。

　なので結局、Case2とは
Ａ=x^3 (xは素数）
ということである。
　一方、Ａ＜100なのだから、xは100の立方根よりも小さい素数である。すなわち、xは
x＜5
を満たす素数。となると、x=2かx=3しかありません。
もしx=2だとすると、Ａ=8、Ａ＋１=9の約数は1,3の2個。
もしx=3だとすると、Ａ=27、Ａ＋１=28の約数は1,2,4,7,14の5個。
いずれも題意を満たしません。

　以上から、Case2の場合は、題意を満たすようなＡはない。

という検討をしておかねばなりません。これで、Case1についてだけ考えれば良いことが証明されたわけです。
ーーーーーーーーーーーーーー

とか書いてるうちにANo.1が上がりました。これこそが「考えられる組み合わせを順番に計算するよりももっと旨い手」ですね。

お礼

さび付いた私の頭でも理解できる文章でご指導戴き、有難う御座いました。

うろ覚えで書いているために、皆様から設問が成り立たないとのご指摘も有りますので、
一旦、この質問は締め切り、その雑誌を見つけた上で改めて質問をしたいと考えております。
その際にも、ご指導いただければ幸いです。

回答No.5

owata-www

よくよく考えたら
＞・　『「Ａ」の約数は「１」の他に２つ』と言う事から、素数の組み合わせと推測。
はダメですね、８とか

お礼

再度に亙るご指導、有難う御座います。

> ８とか
8だと「1を含まない」約数が　2、4、8の3つなので、残り2つという条件に合わないと考えました。そこで、２の倍数はＡの答えには含まれないと仮定した思います。
6だと「1と自己を含まない」約数が　2と3　なので、条件に合わないと考えました。そこで、多分３の倍数もＡの答えには含まれないのだろうと仮定したと思います。
その時には、論理が飛躍しているなんて思ってもいませんでしたが、改めてここで書いてみると、無茶苦茶な仮定をおいていたことがわかりました。
その無茶苦茶な仮定を信じ切って、更に「考え方のヒントは素数か！」と、論理が飛躍した様です。
（この問題を解いていたのが１週間前なので、細かい思考ステップ自体忘れてしまいました）

回答No.3

info22

約数の定義：
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%84%E6%95%B0
では自明な1と-1も約数ですが、文脈から正の整数だけを対象にして考えている場合は正の約数を意味する。とありますので、正の約数だけと考えることにします。

ある正整数の約数の定義によれば
1およびそれ自身も約数に含まれます。
参考URL:6の約数は{1,2,3,6}
http://www.morinogakko.com/classroom/sansu/su/YakuSu1/Yakusu1.htm
なので
> ≪６≫であれば　≪６≫＝｛1，2，3｝＝3　となる。
ではなく
≪６≫＝｛1，2，3, 6｝＝4
ではないでしょうか？

<<77>>＝4 (4の約数＝{1,7,11,77}
なので質問の問題が
≪Ａ≫＝4，≪Ａ＋１≫＝5
であれば A=77が解答ということでしょうね。
つまり

>私がとった方法
の考え方で良いですが、
A自体が約数にカウントされる分、他の約数の個数のカウントを1つ減らして考える必要がありますね。
>・　約数には必ず「1」と「A」が含まれるので、「Ａ」の約数は他に１つ、「Ａ+１」の約数は「１」と「A+1」の他に２つと言う事である。
>・　『「Ａ」の約数は「１」と「A」の他に1つ』と言う事から、素数の組み合わせと推測。
と条件を変更する必要がありますね。
言い換えると
・10≦A=（素数)^2＜100
が正整数Aの条件になるかと思います。
一番小さいAだと
A=5^2=25
<<25>>=3 (25の約数={1,5,25}
<<25+1>>=<<26>>=4 (26の約数={1,2,13,26})
この他に2桁の条件を満たすAはありませんね。

お礼

私の下手な質問に対して、ご指導くださり、有難う御座いました。
うろ覚えで書いているために、皆様から設問が成り立たないとのご指摘も有りますので、
一旦、この質問は締め切り、その雑誌を見つけた上で改めて質問をしたいと考えております。
その際にも、ご指導いただければ幸いです。

回答No.2

owata-www

訂正
その素数の数は→その約数の数は

回答No.1

owata-www

まず、問題は正確に
≪≫は約数の数を要求する記号　なら
≪６≫であれば　≪６≫＝｛1，2，3, 6｝＝4　となります　つまり、nを除いた“真の約数”ということでしょうか

<<78>>＝{1,2,3,6,13,26,39}＝7でアウトです

＞・　２桁の整数が条件として与えられているので、Ａ＋１＜１００である。
・　約数には必ず「1」が含まれるので、「Ａ」の約数は「１」の他に２つ、「Ａ+１」の約数は「１」の他に3つと言う事である。
・　『「Ａ」の約数は「１」の他に２つ』と言う事から、素数の組み合わせと推測。
ここまではいいです、ただA+1を全く考慮していませんが

A＝a^m*b^n a,bは素数というように素因数分解が出来たらその素数の数は
(m+1)(n+1)になります（ご自分でお確かめください、ただしA自身も数えています）

今回はA＋１も含めるとA＋１の約数は５個になるので
A=a^4とあらわされることがわかります

これらを考えるとA＝１５です

お礼

私の下手な質問に対して、ご指導くださり、有難う御座いました。
うろ覚えで書いているために、皆様から設問が成り立たないとのご指摘も有りますので、
一旦、この質問は締め切り、その雑誌を見つけた上で改めて質問をしたいと考えております。
その際にも、ご指導いただければ幸いです。

> <<78>>＝{1,2,3,6,13,26,39}＝7でアウトです
てっきり解けたものと思って、検証が出来ていませんでした。