• ベストアンサー

expの肩に行列が入るとどうなりますか?

rynの回答

  • ryn
  • ベストアンサー率42% (156/364)
回答No.1

> そもそも行列はただの数字ではないので行列には出来ないと思うのですが・・・ 「指数には出来ない」ですよね. 出来ないというより,どう定義するかだけだと思います. 例えば,オイラーの公式として有名な  e^{iθ} = cosθ + isinθ という式でも指数に虚数がはいっていて, 虚数乗ってどういうことだ?となるかもしれませんが,  e^z = Σ z^n/n! で定義されています. ご質問の行列の場合も同様で  e^A = Σ A^n/n! で定義されています.

関連するQ&A

  • 行列の指数関数Exp(A)の性質について

    AをM(n,R)とするとし、Exp(A)が正則行列Pで対角化可能ならば、 AはPで対角化可能である。 これの証明ができません。 この逆命題の証明は易しいのですが、本命題の証明ができません。 ご教授ねかいます。

  • 行列のトレース・行列式に似た演算

    行列の特性多項式を調べていたら、トレース・行列式を一般化したような演算に出会いました。 二次正方行列Aの特性多項式は x^2 - tr(A)x + det(A) です。 そして三次正方行列Aでは x^3 - tr(A)x^2 + (a11a22-a12a21 + a22a33-a23a32 + a11a33-a13a31)x - det(A) と表されます。 ここで、この式のxの係数は、 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 この元の行列で、主対角線に沿った2x2行列の行列式の総和になっています。つまり、 a11 a12 ○ a21 a22 ○ ○ ○ ○ a11 ○ a13 ○ ○ ○ a31 ○ a33 ○ ○ ○ ○ a22 a23 ○ a32 a33 この部分の行列式の総和となっています。 この場合は2x2行列を取り出しましたが、1x1行列を取り出すとトレースに、3x3行列を取り出すと行列式になります。 そこで、このnxn行列を取り出す操作を勝手にtr_nと呼ぶと、 x^3 - tr_1x^2 + tr_2x - tr_3 とかなり美しい形で特性多項式が書けます。 このtr_nについて、 正式な名前は何と言うんでしょうか? また、行列式は体積要素として幾何学的な意味を持ちますが、この演算は幾何学的にはどのような意味を持つのでしょうか? 知っている方いらっしゃいましたら、解答お願いします!

  • 行列式(回転行列)の質問です

    行列式(回転行列)の質問です もともとの問題は(1,0)にこの回転行列で何回か回転させたとき、x軸上にこないことを証明するというものだったのですが、 |2 -1| |1 2|  をn乗したいのですが一般式などは作れるでしょうか? そもそも回転行列のn乗の一般式ってあるのでしょうか? できたら他のやり方の回答もお待ちしています。

  • 実対称行列の対角化に関する理屈が正しいか判断願います。

    実対称行列の対角化に関する理屈が正しいか判断願います。 (3 3 1) (3 9 -1) (1 -1 1)の実対称行列を対角化します。 固有方程式を作り、サラス式で展開すると固有値は0と(13±√(57))/2となります。 ここまでは、数学カテゴリの回答者の皆さまに確認いただいています。 ここからが疑問です。 そもそもこの行列は実対称行列であって固有値はすべて実数である、つまり、適当な直行行列で固有値を対角成分とする対角行列に変換できることが保証されているのだから、固有値を適当に対角に並べた行列が対角行列となる。 解は 1行目((13-√(57))/2 0 0) 2行目(0 (13+√(57))/2 0) 3行目(0 0 0) となる。 という考え方はどうでしょうか? 判断をお願いします。

  • 行列の二項定理???

    行列BとCがある。BC=〇のとき(B+C)のn剰(n≧2)の展開式は、行列で2項定理は使うことができないので、どのようにしたらいいのかわかりません。どうか教えてください。

  • 行列の固有値問題

    以下の証明はどのように行えばいいのでしょうか。 n次多項式f(s)=a(n)s^n + a(n-1)s^(n-1) + ・・・・ +a(1)s + a(0)とする。 行列A(n×nの正方行列)の固有値がλ1、λ2、・・・、λnであるとき、行列多項式f(A)の固有値はf(λ1)、f(λ2)、・・・、f(λn)であることを、任意のn次正方行列は適当な正則行列QによってQ^(-1)AQが下三角行列になるようにできることと、下三角行列の固有値は対角成分になることを用いて示せ。 という問題です。分かりにくくてすいません。 行列多項式というものが初めて目にする言葉ですし、方針が立ちません。 よろしくお願いします。

  • 歪対称行列について

    歪対称行列「J=-J^T(転置行列)∈R(n×n)」の固有値は0、または純虚数であることを示せ。 という問題です。 固有方程式を地道に解いていくことから始めるのは分かりますが、展開式の第2項以降がどうなるのか分かりません。 回答例をお願いします。

  • この表現行列の意味が分かりません。

    授業で執ったノートで分からない箇所がありまして。 『C^n⊃{u_1,u_2,…,u_n}をC^nの正規直交基底とし,(α_kj)をd/dzA(z)|_{z=0}の{u_1,u_2,…,u_n}での表現行列とすると d/dzA(z)|_{z=0}u_j=Σ_{k=1..n}α_kju_k. と書ける。 この時,行列式の微分係数について,(A_1(z),A_2(z),…,A_n(z)):=A(z)とすると, d/dz|A(z)||_{z=0} =Σ_{j=1..n}|A_1(z)|_{z=0},…,A_{j-1}(z)|_{z=0},d/dzA_j(z)|_{z=0},A_{j+1}(z)|_{z=0},…,A_n(z)|_{z=0}| =Σ_{j=1..n}|A_1(z)|_{z=0},…,A_{j-1}(z)|_{z=0},(α_1j,α_2j,…,αnj)^T,A_{j+1}(z)|_{z=0},…,A_n(z)|_{z=0}|』 となっています(^Tは転置行列を表す)。表現行列というからにはAは線形写像(?)ですかね。行列? でも, 「=Σ_{j=1..n}|A_1(z)|_{z=0},…,A_{j-1}(z)|_{z=0},d/dzA_j(z)|_{z=0},A_{j+1}(z)|_{z=0},…,A_n(z)|_{z=0}|」 とかでは行列っぽく書いてあります。 「d/dzA(z)|_{z=0}u_j=Σ_{k=1..n}α_kju_k.」…(*) と書けるのは表現行列の定義から分かりますし, 「d/dz|A(z)||_{z=0} =Σ_{j=1..n}|A_1(z)|_{z=0},…,A_{j-1}(z)|_{z=0},d/dzA_j(z)|_{z=0},A_{j+1}(z)|_{z=0},…,A_n(z)|_{z=0}|」 という変形は,行列式の定義式から導けますね。 つまり, d/dz|A_1(z),A_2(z),…,A_n(z)| =Σ_{j=1..n}|A_1(z),…,A_{j-1(z),d/dzA_j(z),A_{j+1}(z),…,A_n(z)| が成り立つ。 そこで,ただ,最後がどうして, d/dzA_j(z)|_{z=0}が(α_1j,α_2j,…,αnj)^Tに化けるのかがわかりません。 (*)はもし,B:=d/dzA(z)|_{z=0}がn×n行列の意味なら (Bu_1,Bu_2,…,Bu_n) = (u_1,u_2,…,u_n) ・ α_11,α_12,…,α_1n α_21,α_22,…,α_2n : α_n1,α_n2,…,α_nn と書けますが,これから, B = α_11,α_12,…,α_1n α_21,α_22,…,α_2n : α_n1,α_n2,…,α_nn とは言えませんよね。 d/dzA_j(z)|_{z=0}の箇所が(α_1j,α_2j,…,αnj)^Tとなる理由をお教え下さい。

  • expを含む無限等比?級数

    無限級数 Σ x^{2(n-1)} ・ exp(inθ)   [n=1~∞] =exp(iθ)/{1-(x^2) ・exp(iθ)} ・・・(*) となるそうなのですが、どのように計算すれば良いのでしょうか。x^nではなくx^{2(n-1)}の無限等比級数の形に更にexpも掛かっているので高校数学の公式を直接使えない...と思ったのですが、参考書の途中計算を見ると無限等比級数の公式a/(1-r)の式をそのまま使ってるようにも思えます。また、x^{2(n-1)}の中のx^(-2)の項はどのように計算したのでしょうか。 どなたかお願いします。

  • 行列の和の逆行列について

    情報処理系の数学(カルマンフィルタとか)では(A+B+C)^(-1)とか(A+BCF)^(-1)のように行列の和(あるいは行列と行列の積の和)の逆行列の表式があり、公式のようなものが与えられていたりします。その中で例えば(A+B+C)^(-1)でA,B,Cとは何かと言うと行列(普通は正方行列?)なわけですが、例えば単に1つの値(スカラー)であった場合は逆数というのは自然な拡張としてあり得ると思います。1行1列の行列の対角成分だけの行列と見なすわけです。これはいいだろうと思います。問題はAなどがベクトルだったときです。これは計算できないということでいいでしょうか。ベクトルだったら1行N列の行列(N行1列でも)ということであり、逆行列が定義できないということになるでしょうか。カルマンフィルタなどではベクトルではないかと思うものが式の中に入っているのですが。Rで実験してみるとAの逆行列はsolve(A)だけで求まります。Aがスカラーだったら予想どおり逆数なります。ベクトルだったらエラーです。やはりベクトルだと当然ダメということでしょうか。