統計学 手計算による t検定・カイ二乗検定の計算について

質問

統計学に関する質問です。

私は来週行われる大学院入試のため、統計学を勉強している学生です。
過去問を解いていたところ、どうしても解き方がわからない問題があ
り、教えて頂きたく質問を投稿いたしました。

問題は以下のとおりです。
※試験では単純計算機能のみの電卓、カイ二乗分布表が使用可能。

問．同じ年齢・学歴・職種の男女１０名ずつの給料を調べたところ、
　　次の表の通りであった。

男性 15.4 18.3 16.5 17.4 18.9 17.2 15.0 15.7 17.9 16.5
------------------------------------------------------
女性 14.2 15.9 16.0 14.0 17.0 13.8 15.2 14.5 15.0 14.4
(万円)

(1)帰無仮説、対立仮説を立て、男女の給料格差について検定しなさ
い。ただし、母分散は等しいと仮定し、有意水準は5%とする。

(2)母分散は等しいと仮定しないで、同一の検定をしなさい。

(3)母分散は等しいかどうか、有意水準1%で検定しなさい。

１と２はt検定、３はF検定かと思ったのですが、t分布表がないため
t検定が使えません。

カイ二乗分布表を用いて検定する方法があるのでしょうか？
何かもっと上級の分析手法を用いなければならないのでしょうか？

問題を標本分布としてではなく、母集団自体として考えて正規分布を
想定すれば計算できるのかなとも思ったのですが、それは問題文の解
釈がおかしいような気がします。

私の知識不足に起因する面が多いのですが、試験も迫っており困って
おります。どなたか教えて頂けませんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

回答No.3

noname#227064 · ベストアンサー

> この問題に対して尤度比検定を用いる場合、(1)(2)の仮説はどのようになるのでしょうか？

尤度比検定とは、対立仮説及び帰無仮説における同時密度関数をそれぞれf及びgとすると、
2log{max(f)/max(g)}
が棄却限界cを超えた場合に帰無仮説を棄却する検定です。
棄却限界cは、帰無仮説での母数の数がq、対立仮説での母数の数がp+qであったとき、漸近的に自由度pのカイ二乗分布の上側α点と一致します。

(1)の場合で説明します。
母集団の分布は正規分布を仮定しております。

帰無仮説において、母平均及び母分散は等しいのでそれぞれμ及びσ^2とします。男性nx人、女性ny人のデータをx及びy（添え字省略）とすると、同時密度関数は、
g = (2πσ^2)^{-(nx+ny)/2}exp[-{Σ(x-μ)^2+Σ(y-μ)^2}/2σ^2]
となります。
尤度関数gを最大にするμ、σ^2はそれぞれ、
μ = (Σx+Σy)/(nx+ny)
σ^2 = {Σ(x-m)^2+Σ(y-m)^2}/(nx+ny)
ですので、これをfに代入すると、
max(g) = (2πs0^2)^{-n/2}exp(-n/2)
ただし、
n = nx + ny
s0^2 = {Σ(x-m)^2+Σ(y-m)^2}/n
とおいた。

対立仮説において、母平均は異なり、母分散は等しいので、男性の母平均をμx、女性の母平均をμy、母分散をσ^2とします。
同時密度関数は、
f = (2πσ^2)^{-n/2}exp[-{Σ(x-μx)^2+Σ(y-μy)^2}/2σ^2]
となります。
尤度関数fを最大にするμx、μy、σ^2はそれぞれ、
μx = Σx/nx
μy = Σy/ny
σ^2 = {Σ(x-Σx/nx)^2+Σ(y-Σy/ny)^2}/n
ですので、これをfに代入すると、
max(f) = (2πs1^2)^{-n/2}exp(-n/2)
ただし、
s1^2 = {Σ(x-Σx/nx)^2+Σ(y-Σy/ny)^2}/n
とおいた。

したがって、尤度比検定は
2log{max(f)/max(g)}
= [(2πs1^2)^{-n/2}exp(-n/2)]/[(2πs0^2)^{-n/2}exp(-n/2)]
= {(s1^2)/(s0^2)}^(-n/2) > χ^2(1)
となると帰無仮説が棄却されます。

以上が尤度比検定になりますが、(3)も同じように考えればできるのですが、(2)は難しいように思えます（すくなくとも私には）。
その問題は尤度比検定まで求めていないように思えます。

お礼

その後、無事試験は済んだのですが、どうしてもこの問題が
引っかかり、私も色々な参考書や教科書を調べてみました。

その中で、なんとこの問題と全く同じものが載った教科書を
見つけてしまいました。
どうやらそこからの転載だったようです。

あいにく、詳細な解き方が載った教科書ではなかったのですが、
当然のごとくその教科書の巻末にはｔ分布表がついております。
また、ｔ検定に関する記述の演習問題としてついていた問題で
したので、おそらくｔ検定で解くので間違いないようです。

おそらく、うちの大学の教授が問題を教科書より転載した際に、
解き方をあまり確認せず添付資料を作ったのではないかと思い
ます。。。

どうもありがとうございました。

回答No.2

noname#227064

尤度比検定がありました。
これならカイ二乗分布表があれば検定できます。
調べてみてわからないところがあれば補足してください。

尤度比検定を使うことがなかったので忘れていました。

お礼

ご回答ありがとうございます。

尤度比検定の方法を昨日今日と調べてみたのですが、まだちょっと使い
方がよく理解できておりません。。

この問題に対して尤度比検定を用いる場合、(1)(2)の仮説はどのように
なるのでしょうか？

回答No.1

noname#227064

> １と２はt検定、３はF検定かと思ったのですが、

私も質問を読んでそう思いました。
何故、カイ二乗分布表しかないのでしょう？

> 問題を標本分布としてではなく、母集団自体として考えて正規分布を
想定すれば計算できるのかなとも思ったのですが、それは問題文の解
釈がおかしいような気がします。

ひょっとすると、データから求めた分散を母分散として考えているのかもしれません。
そうすると、問題1の場合、
(男性の平均-女性の平均)^2/(2*分散/10)
は帰無仮説において自由度1のカイ二乗分布に従うことになりますが……

そうだったら嫌な問題ですね。