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全６種類のおまけが付いたお菓子は何個買えばコンプリートするか
全６種類のおまけが付いたお菓子は、 何個買えばコンプリートするか。 おまけは何がついているのか見えません。商品に偏りがないと仮定してください。商品を大人買いするしかないわけですが、お菓子が１００円だとしたら、、、よく考えたのですが、これは絶対的な数値にならないと思いますが、いくらぐらいが相場になるのでしょうか。全部で６個だと最低６回は買わないとダメなので、６００円はかかるわけですよね。 で、 ６分の６× ６分の５× ６分の４× ６分の３× ６分の２× ６分の１で、、、０．０１５４で、６００円で当たる可能性は、１．５％であっていますよね？７個とか８個とか…考えるとわけがわからなくなってきます。５０パーセントで平均値ですよね。何個買えばいいのでしょうか。 全１２種類とか全２４種類とか、コレクターにとっては嫌味な商品が色々とあるのですが、全部そろえるのにいくらぐらいかかるのか分かったらいいなーと思うのですが。。数Iとか数IIの確率論とか調べましたが、なんだか分かりませんでしたm(_ _)mよろしくお願いいたします。
- adaypajimy
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＃１さんがすでに答えていらっしゃいますが、 いわゆる クーポン収集問題＝coupon collector's problem です。 これは条件付き期待値の和を考えます １種類目を揃えるまでには１個買えばいい １種類目が揃ったという条件下において，お菓子を１個買うとき，それがまだ持っていないおまけである確率は5/6なので，２種類目のおまけを引き当てるまでに買うお菓子の個数の期待値は6/5 ２種類目が揃ったという条件下において，お菓子を１個買うとき，それがまだ持っていないおまけである確率は4/6なので，３種類目のおまけを引き当てるまでに買うお菓子の個数の期待値は4/6 … 以上より １＋６／５＋６／４＋６／３＋６／２＋６＝１４．７ つまり約１５個買えばいいことになります
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- chie65535
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プログラムで「１～６の乱数を繰り返して出して、何回目に１～６が全部揃うか？」を100000回試してみました。 99979回目は 9個。平均14.706498 99980回目は17個。平均14.706521 99981回目は44個。平均14.706814 99982回目は23個。平均14.706897 99983回目は10個。平均14.706850 99984回目は13個。平均14.706833 99985回目は12個。平均14.706806 99986回目は 9個。平均14.706749 99987回目は22個。平均14.706822 99988回目は 9個。平均14.706765 99989回目は18個。平均14.706798 99990回目は14個。平均14.706791 99991回目は12個。平均14.706764 99992回目は22個。平均14.706837 99993回目は10個。平均14.706789 99994回目は13個。平均14.706772 99995回目は21個。平均14.706835 99996回目は13個。平均14.706818 99997回目は26個。平均14.706931 99998回目は10個。平均14.706884 99999回目は16個。平均14.706897 100000回目は15個。平均14.706900 最低 6個、最高81個 結果、平均は14.7個くらいになりました。期待値にかなり近いです。 ＞５０パーセントで平均値ですよね。 「平均値を超えれば、揃う確率が５０％を超える」と言うだけです。 最低回数は６個で、ダブリ無しでコンプリートです。 最高回数は８１個で、８０個までダブリ続け、８１個目にやっとコンプリートしました。 ＞何個買えばいいのでしょうか。 テストした結果から導ける「何個買えば確実に揃うか？」の回答は「揃う時は６個で揃うが、揃わない時は８０個買っても揃わない」です。 今回は100000回の試行ですが、もっと繰り返すと「２００個買っても揃わない」と言う結果も出て来るかも知れません。 なので、確実に言えるのは「何個買っても揃わない時は揃わない」です。
お礼
ありがとうございます。 １０万人いたら８１個買ってもそろわないヒトがいるというのは恐ろしいですね…。
- mojitto
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この問題は「サイコロを振って１～６までの全ての目が出るためには、何回振らないといけないか」と同じことですね。 でも例えば１００回振り続けても「２」の目が出ないことも、理論上は起こりえます。 で、確実（１００％）にコンプリートさせたい場合は、例えば各おまけのついたお菓子をそれぞれ１０万個ずつ、計６０万個出荷された場合なら、５００００１個買えば、可能です。 とはいえ、１００個でもコンプリートは（ほぼ１００％）可能でしょうし、確率何％をもって良しとするか、そこがわからないと答えようがないと思います。
お礼
そうですね…確実性という観点からは、 そういう計算になりますね。
- Tacosan
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いわゆる「クーポン収集問題」ですね. n種類を全てそろえるための期待値はほぼ n ln n (ln は自然対数) になります. n=6 でだいたい 10. 75 くらい, n=12 だと29.8, n=24 で 76.3, n=48 では 185.8 といった感じ.
お礼
なるほど。っていうことは、１０個買って全部そろったら運が良い方（５０パーセント以上）ってことですね。ありがとうございました。
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ありがとうございます。 分数の足し算で求められるのですね…大変勉強になりました。