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対数平均について
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ラグランジュの平均値の定理というのがあります。 A≦x≦Bで微分可能な関数f(x)について f(B)-f(A)=f'(C)・(B-A) を満たすCがA≦C≦Bの範囲に存在するというものです。 f'(x)が連続な単調関数ならば上の式を満たす唯一のCが、 必ずA≦C≦Bの範囲にあることを利用して いろいろな平均を作ることができます。 f(x)=x^2 とすると相加平均 f(x)=1/x (x>0) とすると相乗平均 f(x)=ln(x) とするとご質問の対数平均が出て来ます。 f'(x)=1/x より ln(B)-ln(A)=(1/C)(B-A) これを解くと C=(A-B)/ln(A/B) となります。 これらの平均の使い分けについては分かりませんが…。
その他の回答 (3)
- OKWave_com
- ベストアンサー率46% (210/453)
私も門外漢です。 対数平均は、英語で "Logarithmic mean" です。 式は、websterさんが書かれている通りです。 (もう一つ異なる定義があり、applicationによってどちらの定義を選択するかが決まるとのことでした。下記WikipediaにReferencesとして記載されているリンク先にこの記載がありました) Wikipediaにも掲載されています。 http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_mean また、"logarithmic mean"で検索してみた結果です。 http://search.goo.ne.jp/web.jsp?JP=0&SGT=0&PT=dict&from=query&MT=%22logarithmic+mean%22&web.x=45&web.y=10&DC=10 お時間のある時に、上記検索結果をながめて見られたらいかがですか? ※websterさんが書かれている定義というのは、こんなところで良いのでしょうか? それともこの式がどのような意味を持つのか、あるいはこの式の導出過程がわかると良いのでしょうか? (そうなると私には手が負えませんが)
お礼
ご回答ありがとうございました。 日本語のWikipediaしか調べていませんでした・・・。 英語のWikipediaには載っていたんですね! 大変参考になりました。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
少し調べてみましたが、熱力学方面に「対数平均温度差」という用語があるようですね。 どうやら、「温度差の、その対数に対する平均変化率」という意味で言っているようで、 別段、「温度差の対数平均」ではないみたいです。(門外漢につき、山勘ですが。) 「対数平均」とは、あまり関係のない用語だと思います。
お礼
ご回答ありがとうございました。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
工学方面では、そのような用語があるのでしょうか? 普通、単調な関数 f と、その逆関数 f^-1 に対して、 (f^-1)( (1/n) Σ[k=1…n] f(x_k) ) のことを、 データ { x_k | k=1…n } の「 f 平均 」と言います。 「 m乗平均 」が、よく使われますね。 その言い方で「 対数平均 」と言えば、相乗平均の別名 であるように思われますが…。さて?
お礼
ご回答ありがとうございました。
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お礼
ご回答ありがとうございました。 ラグランジュの平均値の定理を初めて知りました! 相加平均と相乗平均との関連付けも大変参考になりました。