ユニタリ写像の証明方法
- 質問文章は、ユニタリ写像の証明についての問題です。
- ユニタリ写像の証明には、基底と表現行列を使用します。
- ユニタリ写像の証明をするためには、<w_i,w_j> の形に変形し、最終的には =<v,v> を示す必要があります。
- ベストアンサー
この写像がユニタリである事の証明は?
[Q] Let V be a finite dimensional space over R, with a positive definite scalar product,and let {v_1,v_2,…,v_n}=B and {w_1,w_2,…,w_n}=B' be orthnormaml bases of V. Show that the matrix M_B_B'(id) is real unitary.[Hint:Use <w_i,w_j>=1 and <w_i,w_j>=0 if i≠j,as well as the expression w_i=Σ[i=1..n]a_ij_vj,for some a_ij≠R.] (b) Let F:V→V be such that F(v_i)=w_i for all i. Show that M_B_B'(F) is unitary. の(b)について問題についてです。M_B_B'(f)は基底Bと基底B'に関してのfの表現行列を意味してます。 (b)についての質問なのですが <F(v),F(v)>=<v,v>を示さなければならないようなのです。 <F(v),F(V)>=<F(Σ[i=1..n]a_iv_i),F(Σ[i=1..n]a_iv_i)> =Σ[i=1..n]a_iv_iΣ[j=1..n]a_jv_j<F(v_i),F(v_j)> (∵Fは線形写像?) =<w_i,w_j> の形になると思います。 これからどうすれば =<v,v>に持っていけますでしょうか?
- kyokoyoshi
- お礼率100% (17/17)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
むぅ. なんてやつだ. 「行列がユニタリであることを示せ」なんだから, 普通の人はそれで OK にする. というか, 万一自分がそんな問題を出していたとしたら, 自分の馬鹿さ加減に頭を抱てて自分自身を呪いつつ正解にしてる. ぐうの音も出ないように Now we have shown that tM~_B_B'(F) M_B_B'(F)=I, which implies that M_B_B'(F) is unitary according to the definition of unitary matrix. とでも念を押しておけばよかったのかな? さておいて, 式変形を見てみます. <F(v),F(V)>=<F(Σ[i=1..n]a_iv_i),F(Σ[i=1..n]a_iv_i)> =<Σ[i=1..n]a_iFv_i,Σ[i=1..n]a_iFv_i> (∵Fは線形写像?) =Σ[i=1..n]a_i<Fv_i,Σ[j=1..n]a_jFv_j> (∵内積の定義) =Σ[i=1..n]a_iv_iΣ[j=1..n]a_jv_j<F(v_i),F(v_j)> (∵内積の定義) =<w_i,w_j> (∵題意) ・最初の式は <F(v),F(V)> ではなく <F(v),F(v)> でしょうか? 2つ目の v に注目. ・最初の F の線形性を使うところでは F(v_i) のようにかっこをつけてやってください. ・3番目の等号でなぜか v_i, v_j が内積の外にも飛び出しています. ・最後の等号のところで和が消滅しちゃってます. 特に最後が致命的かな. ここで和が消滅しちゃってるので, その後の話が続かなくなっている模様. その前の式の和を残さないとだめです. で, 「B と B' がどちらも正規直交基底である」, つまり <v_i, v_j> = <w_i, w_j> = δij を使って <v, v> と比較すれば終了.
その他の回答 (1)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
その式の変形が他人に通じると思いますか? ざっと見ただけでも ・v について大文字と小文字が混在している ・突然 a_i が導入されている ・1行目から 2行目への変形のときに a_i だけでなく v_i も内積の外に出ている ・最後がまったく理由もなく <w_i,w_j> に変わっている ・しかも, 和の添え字で本来消えなければならない i, j が残っている など, 問題点がたくさんあります. さらにいうと, この問題は本来「M_B_B'(F) がユニタリであることを示せ」というものです. これにたいしていま示そうとしているのは「<F(v), F(v)> = <v, v>」ですから, この 2つの関係は一言触れておく必要があります. 特に, 「同じベクトルに対して内積が保存されればいい」ということについては何か言及が必要でしょう. と書いておくけど, これってそんなに面倒な証明がいるの? M_B_B'(F) を実際に与えれば終わりでしょ?
お礼
どうもすいません。 > その式の変形が他人に通じると思いますか? ざっと見ただけでも > ・v について大文字と小文字が混在している > ・突然 a_i が導入されている > ・1行目から 2行目への変形のときに a_i だけでなく v_i も内積の外に出ている > ・最後がまったく理由もなく <w_i,w_j> に変わっている > ・しかも, 和の添え字で本来消えなければならない i, j が残っている > など, 問題点がたくさんあります. すいません。訂正いたします。 任意のv∈Vをv=Σ[i=1..n]a_iv_i (a_i∈R)と表す事にすると <F(v),F(V)>=<F(Σ[i=1..n]a_iv_i),F(Σ[i=1..n]a_iv_i)> =<Σ[i=1..n]a_iFv_i,Σ[i=1..n]a_iFv_i> (∵Fは線形写像?) =Σ[i=1..n]a_i<Fv_i,Σ[j=1..n]a_jFv_j> (∵内積の定義) =Σ[i=1..n]a_iv_iΣ[j=1..n]a_jv_j<F(v_i),F(v_j)> (∵内積の定義) =<w_i,w_j> (∵題意) の形になると思います。 これからどうすれば =<v,v>に持っていけますでしょうか? > さらにいうと, この問題は本来「M_B_B'(F) がユニタリであることを示せ」というものです. > これにたいしていま示そうとしているのは「<F(v), F(v)> = <v, v>」ですから, > この 2つの関係は一言触れておく必要があります. > 特に, 「同じベクトルに対して内積が保存されればいい」ということについては何か言及が必要でしょう. > と書いておくけど, これってそんなに面倒な証明がいるの? M_B_B'(F) を実際に与えれば終わりでしょ? 当初,tM~_B_B'(F)M_B_B'(F)=I(ただし~は共役の意味,tは転置の意味,Iは単位行列の意味です)を示せばいいのかと思ったのですが。 F(v_1)=1・w_1+0・w_2+…+0・w_n F(v_2)=0・w_1+1・w_2+…+0・w_n : F(v_n)=0・w_1+0・w_2+…+1・w_n なのでM_B_B'(F)= (1,0,0,…,0) (0,1,0,…,0) : (0,0,0,…,1) と求まると思います。この行列は単位行列なので後は明らかに tM~_B_B'(F)M_B_B'(F)=Iが成り立ちますが これはペケになってまして,「M_B_B'(F) がユニタリであることを示せ」 は<Fv,Fv>=<v,v>を示せという意味なのだそうです。 それでどうすれば上記の =<w_i,w_j> から =<v,v>に持っていけず困っているのです。 どうかご教示ください。m(_ _)m
関連するQ&A
- 次の表現行列は(実)ユニタリである事を示せ
VをR上の有限次元内積空間とする. [問] Rを実数体とする。VをR上の有限次元内積空間とする。 B:={v_1,v_2,…,v_n}とB':={w_1,w_2,…,w_n}を夫々,Vの正規直交基底とする。 f:V→Vを線形写像とする時, 基底BとB'に関するfの表現行列をM_B_B'(f)で表す。 (1) id:V→Vを恒等写像とすると,M_B_B'(id)は実ユニタリ(直交行列(?))であることを示せ。 [ヒント:<w_i,w_i>=1,i≠jなら<w_i,w_j>=0.また表現w_i=Σa_ijv_j (a_ij∈R)] (2) f:V→Vをf(v_i)=w_i (i=1,2,…,n)とすると,M_B_B'(f)はユニタリであることを示せ。 と言う問題です。 これらはどのようにして求めればいいのでしょうか? (1)については 表現行列の定義から x=Σa_iv_i (a_1,a_2,…,a_n∈R)とするとM_B_B'(id)(x)=M_B_B'(x) (∵恒等写像の定義) =Σ[i=1..n]c_iw_i (但し,c_1,c_2,…,c_n∈R) と書け、 ユニタリの定義から内積が保存される事,つまり <M_B_B'(id)(x),M_B_B'(id)(y)>=<x,y>を示せばいいのだと思います。 y=Σb_iv_i (b_1,b_2,…,b_n∈R)として, M_B_B'(id)(y)=Σ[i=1..n]d_iw_i (但し, d_1,d_2,…,d_n∈R) とすると <M_B_B'(id)(x),M_B_B'(id)(y)>=<Σ[i=1..n]c_iw_i,Σ[i=1..n]d_iw_i> =Σ[i=1..n]<c_iw_i,d_iw_i> (∵直交の定義) =Σ[i=1..n]c_id_i (∵正規の定義) となり,<x,y>から遠ざかっております。 どのようにして証明すればいいのでしょうか? (2)についてはユニタリの定義はノルムを保存する事 <M_B_B'(f)(x),M_B_B'(f)(x)>=<x,x> を示す事だと思います。 M_B_B'(f)(x)=M_B_B'(f)(Σa_iv_i)=M_B_B'(f(Σa_iv_i)=Σ[i=1..n]a'_iw_i M_B_B'(f)(y)=M_B_B'(f)(Σb_iv_i)=M_B_B'(f(Σb_iv_i)=Σ[i=1..n]b'_iw_i となり,=<x,x>にたどり着けません。どうすればいいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- {v_1,v_2,…,v_m}が線形空間Vの基底になっている事の証明ができません
Let V be a finite dimesnsional space over R,with a positive definite scalar product. Let {v_1,v_2,…,v_m} be a set of elements of V, of morm 1, and mutually perpendicular (i.e. (v_i,v_j>=0 if i≠j). Assume that for every v∈V we have ∥v∥^2=Σ[i=1..m]<v,v_i>^2. Show that {v_1,v_2,…,v_m} is a basis of V. 「Vを内積を持ったR上の有限次元線形空間とせよ。{v_1,v_2,…,v_m}をVの元の集合とし各ノルムは1で互いに直交しているものとする。∥v∥^2=Σ[i=1..m]<v,v_i>^2が成り立っている時,{v_1,v_2,…,v_m}はVの基底となる事を示せ」 が解けずに困っています。 今,∥v_1∥=∥v_2∥=…=∥v_m∥=1で<v_i,v_j>=0(i≠j i,j=1,2,…,m) なのでv_1,v_2,…,v_mは一次独立と分かります。 後は任意のv∈Vがv_1,v_2,…,v_mの一次結合で表せれれば{v_1,v_2,…,v_m}が基底である事が言えるのですが ∥v∥^2=Σ[i=1..m]<v,v_i>^2をどうしてもv=(v_1,v_2,…,v_m一次結合)と変形できません。 どうすれば変形できますでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線型空間 基底の証明
U, V, U @ V 線型空間 f : U × V → U @ V 双線型写像 (U @ V, f) U と V のテンソル積 f(u, v) = u @ v dim U = m, 基底 {u_1, u_2, ..., u_m} dim V = n, 基底 {v_1, v_2, ..., v_n} S = {u_i @ v_j | 1 ≦ i ≦ m, 1 ≦ j ≦ n} 基底を証明したい <S> = U @ V は f(u, v) を計算して証明できたのですが S が線型独立の証明を教えてください r_11(u_1 @ v_1) + ... + r_mn(u_m @ v_n) = 0 とおいたまま立ち往生です
- 締切済み
- 数学・算数
- Vをn次元内積空間とする。線形写像f:V→Vがpositive且つ<f(x),x>≧0(∀x∈V)ならtr(f)≧0
内積空間についての命題の証明についてです。 [命題]Vをn次元内積空間とする。 線形写像f:V→Vがpositive且つ<f(x),x>≧0(∀x∈V)ならtr(f)≧0 を示しています。 fがpositiveであるの定義は<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V) tr(f)の定義はfの表現行列Aのトレース Vの基底を{v_1,v_2,…v_n}とすると x=Σ[i=1..n]c_iv_i y=Σ[i=1..n]d_iv_i (c_i,d_i∈C:複素数体 (i=1,2,…,n)) f(v_j)=Σ[i=1..n]a_ijv_i と書け,((a_ij)=:Aをfの表現行列という) <f(x),y>=<f(Σ[i=1..n]c_iv_i),Σ[i=1..n]d_iv_i> =<Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>(∵fは線形写像) <x,f(y)>=<Σ[i=1..n]c_iv_i,f(Σ[i=1..n]d_iv_i)> =<Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)>(∵fは線形写像) で仮定より <Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i> = <Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)> と書ける。。。 からどのようにして証明してけばいいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形写像のノルムに関する関する問題です
線形写像A∈L(R^n,R^m) (=R^nからR^mへの線形写像全体） に対して||A||を||A||≡sup{||Ax|| : x , ||x||≦１｝で定めます。 ||A||がm×ｎ個の変数{a}ij (i=1・・・m , j=1・・・ｎ)の連続関数となることを示す問題です。 以前にいくつかのヒントをいただいて自力で頑張ってみたのですがいまだに理解できません。どなたか証明の仕方をお願いします。 必要な場合、以下の性質が使えます。 （i） ||A||＝sup{||Ax||＼||x|| : x≠0 ,x∈R^n} ＝sup{||Ax|| : x=1 ,x∈R^n} (ii) A∈L(R^n,R^m), B∈L(R^m,R^l) であるとき||BA||≦||B||||A|| (iii) A∈L(R^n,R^m),の標準基底に関する表現行列を(a_ij) (i↓1,・・・,m ; j→1,・・・,n)とするとき maxΣa^2_ij≦||A||^2≦ΣΣa^2_ij (i=1,・・・,m ; j=1,・・・,n)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この写像がwell definedである事の証明
[Q] Let V,W be finite dimensional vector spaces over the same field. {x1,x2,…,xn} is a basis for V Tx1=y1∈W,…,Txn=yn∈W then you can define∀x∈V x=c1x1+c2x2+…+cnxn T(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn (1) Show that this function is well defined. (2) Show that this funciton is closed under scalar multiplication. という問題で質問があります。この問題の意味は下記の通りだと思います。 "well definedである事示せ"とは具体的にどうすればいいのかわかりません。 [問]V,Wを体F上の有限次元ベクトル空間とし、{x1,x2,…,xn}をVの基底とする。線形写像Tに於いて、 T(xi)=yi∈W (i=1,2,…,n) …(1)、 そして、∀x∈Vに対して, x=c1x1+c2x2+…+cnxn …(2) T(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn …(3)と定義すれば (1) この写像がwell definedである事を示せ。 (2) この写像がスカラー倍に対して閉じている事を示せ。 [(1)の証] T(x)=T(Σ[i=1..n]cixi) (∵(2)) =Σ[i=1..n](ciyi) (∵(3)) =Σ[i=1..n]ciT(xi) (∵(1)) これからα,β∈Fとすると T(αx+βy)=αT(x)+βT(y) …(4)が成立している事も表している事が分かる。即ち、Tは線形写像。 よって,この定義は妥当である。 [(2)の証] ∀c∈F,∀x∈V,T(cx)=cT(x)∈Wとなる事を示せばよい。 0をVの零ベクトルとすると T(0)=T(Σ[i=1..n]0・xi)=Σ[i=1..n]0・yi (∵(1),(2),(3))=0 …(5). y:=0と採ると,(4)からT(cx)=cT(x) (∵(5)) を満たす。 従って、Tはスカラー倍に対して閉じている。 という風に解いたのですがこれで正解でしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 松坂『線形代数入門』：表現行列の標準系
本書のp205の命題６．１０ V,Wをそれぞれn次元、m次元のベクトル空間とし、F：V→Wを線形写像とする。Fの階数がｒならば、V、Wの基底α、βを適当に選んで、Fを次の形の行列で表現することができる [I_r O_r,n-r Om-r,r Om-r,n-r] I_rはr次の単位行列、Oはそれぞれ付記された添数の型の零行列を表す。 r次の単位行列を０で埋めてm*nにした行列です。 教科書の証明は KerFはn-r次元であるから、その基底を｛v_r+1,...,v_n}とするとして、 それを拡張したVの基底を{v_1,...,v_r,v_r+1,...,v_n}とするそのとき F(v_1)=w_1, ..., F(v_r)=w_r とおけば、{w_1, ... , w_r}はImFの基底となる。 そこで{w_1, ... , w_r}を拡張したWの基底を{w_1, ... , w_r , w_r+1, ... ,w_n}とすれば F(v_r+1)=0 , ... ,F(v_n)=0 より表現行列は明らかに上で示した形になる。 なぜこれで示せているのかわからないです…
- ベストアンサー
- 数学・算数
- キリング形式が非退化であることと同値な条件
g：n次元のリー代数 ｛v_1,…,v_n}：gの基底としたとき B_ij＝B(v_i,v_j) （Bはキリング形式を表わしています） とおくと、この値を(i,j)成分とするn次対称行列A＝[B_ij]が定まる。 detAが消える（Aが正則の）ときキリング形式Bは非退化であるという。 という非退化の条件の下に この条件はB(X,Y)=0が∀Y∈ｇに対して成立するのはX=0に限ることと同値である。 とあったのですが、どうして同値なのかがよくわかりません。 大変恐縮なのですが、教えていただきたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線型代数 部分空間 次元 基底
線型代数の問題です。 全然手がつけられないので助けてほしいです(^^;) 次のV=Mn,n(R)の部分空間の次元と基底を求めよ。 (1)W1=｛A=(ａij)∈V｜i>jのときａij=0｝(上半三角行列の全体) (2)W2=｛A∈V｜tA=A｝ (対称行列の全体) (3)W3=｛A∈V｜tA=-A｝(交代行列の全体) (4)W1∩W2,W1+W2 (5)W2∩W3,W2+W3 答えは (1){Eij|i<j}が基底 dimW1=1/2(n^2+n) (2){Eij+Eji|i≦j}が基底 dimW2=1/2(n^2+n) (3){Eij-Eji|i<j}が基底 dimW3=1/2(n^2-n) (4)(5)は書いてないので分からなかったです... お願いします!!
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。 お蔭様で上手くいきました。