解き方の候補が全滅（組合せ）

質問

「やったことがない問題は解き方を知らないから解けません」と
いつも相談していますが、それを見事にあらわすいい問題が見つ
かりました（^_^）b。

問
赤、青、黄の３色の色紙が、それぞれ、２枚、３枚、１枚ある。
これから任意に３枚を選んで左から右へ１列に並べるとき、
色の組合せは何通りあるか。

選択肢1:15通り。2:16通り。3:17通り。4:18通り。5:19通り。

例によって例のごとく挑戦したことのないパターンの問題です。
で、僕の頭の中ではどんな風に働いたかと言いますと…。

問いは組合せは何通りあるかなので、並び順を聞いている
わけではない
↓
つまり、「赤・赤・青」「赤・青・赤」も１つの組合せと
して考える必要がある。
↓
さて、ではそれを求めるためにどの式を使えばいいのか？
↓
１）色紙は同じ色が使われているし、順序を求める問題ではない
ため、ｎ！の式は適切ではない。
２）同じ色の色紙が使われているため、ｎＣｒの式も×。
３）計６枚ある内３枚を選んだ組合せを求める問題だから、
ｎ！／ｐ！×ｑ！×…　の式も適切ではない。
４）…あれ？もうこれ以上候補に使えそうな式を知らない…。

と、いうわけで、これ以上は式が思いつかず、答えの出し方が
わかりませんでした。色々な問題がテキストには掲載されてい
ますが、今までに習った知識では解けない問題のほうが圧倒的
に多く、やっぱり「知識を得た→でも次の問題は解けない→そ
の問題についての知識を得た→でも次の問題は解けない→その
問題についての知識を得た→でも次の問題は解けない」の繰り
返しです。しかし、こうやってレパートリーを増やすほうが効
率がよいみたいです。

この問題はどうやって解けばいいのでしょうか？宜しくお願い
致します。

回答No.7

yamsaru

問題点を二つ挙げさせてください。
(1)使われている用語に執着しすぎ。
(2)公式に頼りすぎ。

(1)は数学というより、日本語の問題です。
「赤、青、黄（２枚、３枚、１枚）から３枚選んで、左から右へ並べる」
これを読んで、「赤・赤・青」「赤・青・赤」も同じことだと思ったのですよね？
でもそれじゃ日本語の意味が通りませんよ。
だって『左から右へ並べる』意味はどこにあるのですか？
hypnosisさんの解釈では、
　　「赤・赤・青」「赤・青・赤」　→　「どっちにしろ　赤２枚・青１枚」
のようですが、それなら何のために一列に並べるのでしょう？
それなら単に「３枚選べ」とだけ書けば済む話ですよね。

要するに「この言葉が使われているからこうだ」という判断の仕方はやめてください。
極端な話、「組み合わせ」という言葉はどうでもいいんです。
用語よりも、状況全体をよく読むのです。
「並べる」ということは、明らかに「順番を気にしている」と思いませんか？
え、思えない？
ではhypnosisさんが出題者だとして、解答者に
　　「『赤・赤・青』も『赤・青・赤』も、どっちにしろ同じなんだよ」
と思ってほしいとき、いちいち『順に並べて』なんて書きますか？
絶対に「なんで並べる必要があるの？」って思われますよ。

(2)ですが、そろそろ「どの公式」という発想はやめませんか？
レパートリー集めはやるだけ無駄です。
なぜって出題者の気分しだいで、レパートリーなんて無限に作れるからです。
私は毎日そうやって問題を作っています。仕事ですので。

この分野の究極的な方法は、「ひたすら列挙して数えること」です。
小学生のころに樹形図を習いましたね？
可能性が枝分かれしてゆく様を、イラストにしたものです。
できる人は、アレを脳裏に思い描きます。
でも百も二百も、いちいち数えてられないので、そこは『適当に計算する』んです。
ここで必要な数学能力は、小学生レベルでしかありません。
５股の枝分かれが３つあるなら「５×３」。その程度です。
大事なのは『どうすれば楽に数えられるか』であり、あくまでも『数える』のが目的です。

ところがなぜか、低学力な生徒ほどこれをしません。
彼らは問題を読み、すぐに「どの公式ですか？」と聞いてきます。
どうやら公式を「万能の道具」だと思っているようです。
状況を図解し、自分の手で数え、『必要に応じて』『足したり引いたりする』
ということができません。これは算数の初歩なんですが…。
彼らは、あらゆる状況には、それに対応する公式があるはずだと信じているようです。
hypnosisさんからは、それと同じ匂いがものすごく感じられます。

　　　ハッキリ言っておきますが、それは絶対に間違っています。
　　　問題のたびに公式を探すようでは、百年たってもできるようにはなりません。
　　　私の教師生命をかけてもいいです。

何が何でもレパートリー集めに頼るなら、もう能力を伸ばすのは諦めるべきです。
何千通りものパターンを、まさか覚えきれるわけがありませんよね？
その証拠が「知識を得た→でも次の問題は解けない
　　　　　　→その問題についての知識を得た→でも次の問題は解けない」
のスパイラルです。
私は毎日、そうして潰れてゆく生徒を何百人と見ています。
hypnosisさんが彼らの二の舞にならないことを祈っています。

お礼

ありがとうございました。

回答No.6

arrysthmia

何が、どう大丈夫なんだか。

この問題の際立った特徴は、選択肢が与えられており、
そのどれもが 10～20 程度の大きさでしかない点だ。
全部書き出しても、その位の個数しかないことが、
ヒントとして与えられている訳だ。
なぜ、それが読み取れないかね？　馬鹿なの？
後は、必要なものは、勇気と根性だけ。公式は要らない。

効率を言う前に、自分の力で答えを出してごらん。
「答えを出す」というのは、解答欄を無意味な文字で埋めて
それが偶然当たっていたり外れていたり…　ということではなく、
問題に書いてある状況を理解し、自分で正解だと分かる
答えを、理由つきで導くということだ。

この問題を全解列挙で解いてみれば、数え忘れ無く全部の
組み合わせを挙げるためには、どの順で書き出してゆけば良いか
考えざるを得ない。そうやって正解または誤答を自作した
後で、公式などを使った解答例を読めば、そのとき初めて、
そこに使われた公式の意味が「分かる」。

分かってしまえば、次回からは、省力化のために
公式を使って済ませてしまってもok。
公式を使うとは、そういうことだ。
どの例題で使ったかをオボロゲに覚えているだけでは
実際に「使えない」ことは、身をもって実証済みだと思うがね。

お礼

なんだかよくわかりませんが、少年マンガのような熱い
アドバイスをありがとうございます。

さぁ、またレパートリーが一つ増えたところで、次の問
題に入りましょう。

回答No.5

Tacosan

あえて厳しく言わせてもらう.
「今回は問題文のつくり自体アレだったようなので」とかいってるけど, 問題文には「左から右へ１列に並べる」と書いてある. だから, これだけで「順序が意味を持つ」=「順序が異なるものは別物としてカウントする」くらいは読み取れなきゃ. 少なくともその可能性を念頭に置かないようではだめ.
あと, 「式を使わなきゃ問題が解けない」というのはある意味その通りなんだけど (もちろん #4 でいわれるようにすべてのパターンを列挙すれば「式を使わなくても問題は解ける」わけだがここではあえて無視), だからといって「この問題を解くための式」というのがあるわけじゃない. この問題を解くにあたって「どうすれば解けるか」を考え, その上で「どういう式をどのように使っていけばいいのか」と見ていくわけです. そこを完全に飛ばしてしまって「式を使わなきゃ問題が解けない」といってしまうなら, #3 の「この考え方そのものがだめ」というのはまさにその通りでしょう. 「この問題を解くための式」と「この問題を解くために使う式」とは違うものです.

お礼

ありがとうございます。

＞問題文には「左から右へ１列に並べる」と書いてある.だから
＞順序が異なるものは別物としてカウントする

そうなんですか？他にいくらでも言い回しがあるのに、その中で、
わざわざ「組合せ」という単語を最終的に選んで使用したのです
から、てっきり別物として考えるものなのかとばかり思っていま
した。

＞少なくともその可能性を念頭に置かないようではだめ

今回の学習のポイントはまさにここですね。公式云々については、
はじめの質問文に書きましたとおり、考えてもわからなかったの
で、ここではコメントは控えます。

回答No.4

arrysthmia

全ての組み合わせを書き出して数えなさい。

お礼

ありがとうございます。今回は問題文のつくり自体アレだった
ようなので、大丈夫のようです。

回答No.3

kabaokaba

＞さて、ではそれを求めるためにどの式を使えばいいのか？

この考え方そのものがだめ．
前にも何度も指摘されてるでしょう？
公式にこだわりすぎるのはだめ．
そもそも何の式を使うのか分からないときは
泥臭く・泥臭くやるのです．
そういう泥臭い作業をやって初めて公式とかの意味がわかるんです．
＃素振りをしない打者がいるのか？みたいなもんです
知ってる問題しかできないってのは
語弊を恐れずにいえば，分かってないってことで，
解答をみれば分かるっていうのはある意味言い訳で
「分かってない」「分かったつもりになってる」だけなんです．

わかんなかったらすべてのパターンを列挙するんです
問題文がなんかおかしいというか表現が微妙だけど。。。
こんな感じ
（１）青青青＝＞1通り
（２）青青赤＝＞3通り
（３）青青黄＝＞3通り
（４）青赤赤＝＞3通り
（５）青赤黄＝＞6通り
（６）赤赤黄＝＞3通り
これで19通り．

問題文がおかしいといういのは
答え「6通り」とも解釈できるってあたりか．
けどね「左から右へ並べる」っていってるんだから
>つまり、「赤・赤・青」「赤・青・赤」も１つの組合せと
>して考える必要がある。
これは間違え．
問題文もわかりにくいが，
「赤・赤・青」「赤・青・赤」ってのは別もの．
「左から右に並べた組合せ」ってのはこれらを
区別するってことを表すもの．
「組合せ」って言葉だけみて
「区別しない」って思ってはいけない．
きちんと問題の意味を考えること
＃出題者は「選択肢がヒントになる」と考えているのかもしれない

お礼

ありがとうございます。

＞この考え方そのものがだめ．
でも、式を使わなければ問題は解けないはずです。
ここにつく回答を見ても、皆さん「…だから○○の式を使っ
て…」と解いています。

しかし、今回の問題は、問題文そのものにも難点があったよ
うなので、気にしなくて大丈夫のようですね。例えば僕が考
えたように、「順序は関係ない」とした場合、３！という解
き方であっていますか。

回答No.2

koko_u_

>例によって例のごとく挑戦したことのないパターンの問題です。

あなたは、単純にあり得る場合を書き出して、場合の数を数えたことがないのですか？
どうやって順列の数 n! や組み合せの数 n!/(p!q!...) の公式を理解したというのですか？

>しかし、こうやってレパートリーを増やすほうが効率がよいみたいです。

解けるようにならないのに、効率がよいとはこれ如何に？

お礼

koko_u_さん、こんばんは。

問題文では「組合せ」と書いてあるので
青・赤・青も、赤・青・青も１組としてとらえると思ったので、
ありえる場合を書き出すことは、この問題に求められる方法で
はないと思ったんです。

＞解けるようにならないのに、効率がよいとはこれ如何に？
やったことのないパターンの問題は解けませんが、やったこと
のある問題はおかげさまでちゃんと解けています。僕にはやは
り、レパートリー集めのほうが効率がよいと思うんです。

回答No.1

fukuda-h

＞これから任意に３枚を選んで左から右へ１列に並べるとき、
とありますから、とにかく３枚を並べるんでしょう。

＞色の組合せは何通りあるか。
変な表現ですね。並べて色の組合せ？要するにどんなパターンができますか？ということでしょう。異なるパターンは何通りあるか？ということなんでしょうね。

同じものがあるときは、すべてを書きだして・・・
３枚の色紙の選び方は（赤、青、黄）として
（２，１，０）（２、0,1）（１，２，０）（１，１、１、）
（０，３，０）（０，２，１）の６種類あって
それぞれの並べ方は
　　3+3+3+6+1+3＝19　答えは選択肢５

お礼

ありがとうございます。

３枚の色紙の選び方は（赤、青、黄）として
（２，１，０）（２、0,1）（１，２，０）（１，１、１、）
（０，３，０）（０，２，１）の６種類あって

ここまでは理解できます。問題文は組合せと問いているので、
これで１組と考えると思っていました。