2変数の最大最小の問題が解けません…誰かお願いします。

質問

今、高校3年の受験生です。今解いてるこの問題が（↓）解けません。どうかよろしくお願いします。ちなみに文系なのでIＡIIＢの範囲での回答お願いします。。。

(1)変数x,yについて、F＝x2＋6y2－4xy-3yの最小値を求めよ。
（x2はxの二乗、y2はyの二乗ってことでよろしくお願いします）

(2)0≦x≦10,0≦y≦10でx,yが整数とき(1)のＦの最小値を求めよ。

回答No.1

fukuda-h · ベストアンサー

問題を丸投げしてはいけません。どこまで考えたかを書きましょう。
とにかくこれは数Iです。
２変数はどちらかを定数として扱って・・・・
係数の簡単な方で整理して(Ｘについて整理する方が最初は計算が簡単で)
Xの二次関数とするのが定番です
Ｆ＝x^2-4yx+6y^2-3y＝(x-2y)^2+2y^2-3y
これで最小が2y^2-3y。これをＹについての二次関数と考えて
＝(x-2y)^2+2(y-3/4)^2-9/8
と変形して
x＝2y,y＝3/4のとき最小値-9/8 つまりｘ＝3/2
最小値2y^2-3yの最小値を求めるので予選・決勝法と言います
（２）は
Ｆ＝(x-2y)^2+2(y-3/4)^2-9/8を使って
y＝3/4のとき最小値ですからこれに最も近い整数はy＝１
Ｙについての二次関数でグラフは下に凸だからと考えます。
Ｘ＝２ＹだからＸ＝２の時です
答えはＦに代入すればいいですね

ここでは二次関数と見ることがポイントですね

お礼

Ｆ＝x^2-4yx+6y^2-3y＝(x-2y)^2+2y^2-3yまでは自分でも考えたんですが、それ以降の考え方は分からなかったです↓汗

早い回答ありがとうございます。これからも数学頑張ります!!
今度質問を書くときは、しっかり自分が考えたところまで書きます!!

回答No.4

take_5

2変数として、orthodoxに解いてみよう。

F＝x2＋6y2－4xy-3y＝（x-2y）＾2＋2（y-3/4）＾-9/8であるから、先ずxの2次関数と見る。
0≦x≦10で軸が2yであるから、次の3つの場合わけが発生する。
(1)2y≧10の時、x＝10で最小値：6y＾2－43y＋100.　計算が面倒だが、y＝6で最小でF≧58.
(2)0≦2y≦10の時、x＝2yで最小：2（y-3/4）＾-9/8であるが、yが整数値からy＝1、x＝2。F≧-1.
(3)2y≦0の時、x＝0で最小：6y＾2－3yからy＝0の時　F≧0.

以上から、F≧-1でこの時y＝1、x＝2。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。

回答No.3

take_5

別に2変数の問題と意識しなくても良い。。。。笑

xの2次方程式と見ると、x＾2－4xy＋6y＾2-3y-Ｆ＝0である。
xが実数から判別式≧0.つまり、2y＾2-3y-Ｆ≦0.　yも実数から判別式≧0.　従って、Ｆ≧-9/8.　この時、（x、y）＝（3/2、3/4）。

(2)0≦x≦10,0≦y≦10でx,yが整数とき(1)のＦの最小値を求めよ。

（1）でxとyが0≦x≦10,0≦y≦10でx,yが整数であるものが存在すればよい。
先ず、3/4＝0.75からy＝1であり、その時xも条件を満たす整数値であれば良い。（3/2＝1.5からx＝1　か　2のどちらかだろうが）
y＝1の時、F＝x＾2－4x＋3＝（x－2）＾2-1であるから、x＝2で最小。
以上から、（x、y）＝（2、1）の時、Ｆ≧-1。

お礼

回答ありがとうございます!!

またよろしくお願いしますm(_ _ )m

回答No.2

info22

問題の丸投げをしないで、あなたの分かる範囲での解答を書いて、分からない箇所だけ具体的に質問するようにして下さい。

(1)
F=x^2＋6y^2－4xy-3y=kとおき
これをxの2次方程式と見なし、xの実数条件
D/4=-2*y^2+3*y+k≧0…(■)
から、この不等式を満たす実数yが存在する条件から
kの範囲が出てきます。
8k+9≧0
ここからkの最小値-9/8が出てきます。

(2)x,yが整数のときkが整数となることから(1)から
kは-1以上の整数
これを満たす整数kの最小値はk=-1
この時
yの存在条件から 1/2≦y≦1
0≦y≦10を満たす整数yはy=1
この時x=2
これは0≦x≦10を満たしています。
つまり、x=2,y=1でFの最小値はk=-1となる。

お礼

今度質問する時はそうします!!すみませんでした。

回答ありがとうございます!!