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線形代数(行列)の応用、および世界観について

stomachmanの回答

  • stomachman
  • ベストアンサー率57% (1014/1775)
回答No.1

stomachmanはこれ苦手。未だに自由自在に行かないのが線形代数で、しょっちゅう数値計算をやってみて途中結果を確認しながら計算をします。stomachmanと同じく、ものごとをイメージで捉えるタイプの方とお見受けします。  いろんな捉え方があるとは思いますが、社会に出て大学で数学やりました、といえるためには最低線、基礎中の基礎。ピアノでいうならバイエルです。  まずは抽象的思考の基礎訓練と割り切って、1年生は1+1から練習をするのが良い。のちに難しい問題に対処するときにありがたみが分かってくる。数学って「直感で捕まえられなくなると話が分からなくなってしまう」というような我流では絶対到達できない深い世界なんですよ、きっと。だから公理論的に理論が組み立てられて、新しい概念が積み重ねられていく、そいういう理論構築過程をつぶさに追跡できる絶好の機会でもあります。 ・まずは単に、連立方程式をベクトルと行列で扱うと便利です。解析幾何学と関連づけて解釈するととくに理解しやすいと思います。一般逆行列の問題は面白いし、実用上も逆問題に関連して非常に重要です。工学で有限要素法をやったり、複雑な曲面を設計する問題では、行列が無かったら手も足も出ません。 ・行列式の本性は外積です。これも幾何学的な意味を捉えてみてはいかがかと思います。 ・固有値、固有ベクトル、基底と独立性、は問題をスペクトル分解することで、基底の選び方の問題であり、力学や因子分析の基本的演算です。線形代数はすぐに関数空間に話を広げることになると思います。すなわち直交関数系という基底に繋がっていきます。応用数学では不可欠ですね。線形空間のフーリエ解析も、超関数論も、ソボレフ空間も、ヒルベルト空間も、演算子法も、Lee代数も.... ・組み合わせ数学におけるグラフ理論との関連は、グラフを行列で抽象的に扱う訓練と考えてはどうかな。これも幾何学ですね。コンピュータに掛けるためにはこれが出来なくちゃ話になりませんし、neural networkでも基本的表現。 ・線形代数が線形空間論に広がると、今度は位相の問題が重要になってきます。ルベーグ積分も、位相幾何学もその延長上にある。コホモロジーなんて言っても、究極の所は代数の構造に話が戻ってきます。  抽象代数のバイエル。一方、イメージを押さえたければ、ユークリッド空間の幾何学や、電磁気学などの応用分野と一緒に勉強してみるのも面白い。アドバイスとしては座学に頼らず、少しづつ応用してみながら学ぶことをお勧めします。またExcelなどを使ってある程度の規模の問題を扱ってみるのも重要だと思います。  是非、補足を付けて、問題のポイントをもう少し絞って具体化していただけませんか。 常連回答者には数学の専門家や大学教授もいらっしゃいますから、話がクリアになれば、もう堪忍してと言いたくなるほどの回答が来るかも。

noname#5824
質問者

補足

stomachmanさん、早速の回答ありがとうございます。 どのようなところにつながるか、というのは、 まだ私がやっているのは基礎でしょうから、先が見えない、 という感じがあります。 では、もうちょっと質問を絞ってみます。 今の高校数学(理系)では主に行列を「連立方程式を解く手段」 として扱っていますが、なぜわざわざ行列にしたのでしょうか。 大学では最初のうち、「連立方程式」と「ベクトル」を 行列、として表現する方法、およびそれに関する解法などを学びました。 わざわざ「行列」として表現することの「メリット」を教えてください。 …stomachmanさんが回答している、と言う部分もあるかと思いますが。 それから、これは基本的なことなのかもしれないのですが、 線形代数(空間)=行列 なのでしょうか? 違うとすれば、それはなんですか?

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