発散 収束

質問

こんにちは。発散か収束かを区別したいのですが、解き方を教えてください。

Σ∞,n=0 {1 / (2 + (1/2)^n)}

よろしくお願いします。

回答No.5

mmky · ベストアンサー

＃２で回答出てますが説明の参考まで

（n=0～∞ ）Σ{1 / (2 + (1/2)^n)}

n=0:1/2+1=1/3=0.333
n=1:1/(2+(1/2))=1/(5/2)=2/5=0.4
n=2:1/(2+(1/4))=1/(9/4)=4/9=0.4444
n=3:1/(2+(1/8))=1/(17/8)=8/17=0.47058
n=4:1/(2+(1/16)=1/(33/16)=16/33=0.4848
・・・・・・・・・・
n=n:1/(2+(1/2＾n)=1/(1+2＾(n+1)/2＾n)
=2＾n/(1+2＾(n+1)
をすべて加算するというのがΣの意味ですね。
ｎに対して数値が
{{1 / (2 + (1/2)^n)}＜ {1 / (2 + (1/2)^n+1)}
になっているね。だから加算すればどんどん数字が大きくなり
発散するんだね。
参考程度まで

回答No.4

takachips

ごめんなさい、分母が分子よりも速く大きくなるので、ゼロに収束ですね。
で、あってると思いますが。。。むむぅ。

回答No.3

takachips

元の式に(1/2)^nの項があるので、それが単純に
気持ち悪いから、そこをシンプルにするように
しようとすると、必然的に2^nが出てくると思います。

回答No.2

goepi

1/[2+[1/2]^n]　＜　1/[2+[1/2]^[n+1]]
ですから発散です。

回答No.1

takachips

分母分子に2^nを掛けると、

2^n/{2^(n+1)+1}

になります。分母の+1はこの際ミジンコちっくな大きさなので
無視できます。なのでn+1乗の+1の分、分母が速く大きくなるので
発散だと思います。

補足

2^n　という数字はどうして求められるのですか？