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∫1/x√(x^2+1) の積分について。
∫1/x√x^2+1を積分しろ という問題があるのですが、解答をみると √(x^2+1)=t-x と、置き換えて積分していくのですが、僕は √(x^2+1)=t とおいて積分したのですが、これでは出来ないのでしょうか? 一応これでも計算はできた(つもり?)のですが、解答と答えが違っていたのでどこかで、ミス(思い違い?してはいけないことをした?)があったのかと思うのですが…。 答えは log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}| です。 僕の置換の方法でやると、 1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1| です。
- nabewari
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ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。 log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}| |x-1+√(x^2+1)| Log ―――――――――――― |x+1+√(x^2+1)| |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]| =Log――――――――――――――――――――――――― |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]| |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^2+1))]| =Log――――――――――――――――――――――――― |(x+1)^2-(x^2+1)| |x^2-(1-√(x^2+1))^2| =Log――――――――――――――― |2x| |x^2-1+2√(x^2+1)-x^2-1| =Log―――――――――――――――――― |2x| -1+2√(x^2+1)-1 =Log―――――――――――― |2x| √(x^2+1)-1 =Log――――――――― |x| [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1] =Log――――――――――――――――― |x[√(x^2+1)+1]| |x^2| =Log―――――――――――― |x[√(x^2+1)+1]| |x| =Log―――――――――――― √(x^2+1)+1 =Log|x|-Log[1+√(x^2+1)] ------------------------------------------------------------ 1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1| 1 √(x^2+1)-1 ――― ・ Log―――――――――――― 2 √(x^2+1)+1 1 [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1] =――― ・ Log――――――――――――――――― 2 [√(x^2+1)+1][√(x^2+1)+1] 1 |x^2| =――― ・ Log―――――――――――― 2 [√(x^2+1)+1]^2 |x| = Log―――――――――――― √(x^2+1)+1 =Log|x|-Log[1+√(x^2+1)] -----------------------------------------------------------
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- info22
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式を変形すれば、答も質問者さんの解答も微分すれば、元の被積分関数に戻りますので、共に正解ですね。 不定積分だから積分定数Cをつけないといけませんが…。
お礼
回答ありがとうございます。
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お礼
回答ありがとうございます。 とても分かりやすかったです。