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全射準同型
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群の演算(以下、「積」といいます)は、 S_n 上では置換の合成、{±1}上では整数の乗法で定義されていることと思います。 さて、S_n から、{±1} への写像 σ を置換の符号で定義します。 つまり、 S_n の元τが 偶置換ならば σ(τ) = +1 奇置換ならば σ(τ) = -1 と定めます。 すると、 σ は S_n の積を{±1}の積に写します。つまり、積を・で表して、 σ (ξ・τ) = σ (ξ)・σ (τ) (#) ですから、群の準同型写像です。 また、 S_n には偶置換も奇置換も存在しますから、上への写像です。 (#)を示すためには、 偶置換と偶置換の合成が偶置換 偶置換と奇置換の合成が奇置換 奇置換と偶置換の合成が奇置換 奇置換と奇置換の合成が偶置換 であることを言えばよいと思います。行列式の定義のところで置換が出てきたと思いますので、必要があれば線型代数の本にあたってみてください。
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