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各点収束について

rinkunの回答

  • rinkun
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回答No.3

g_nの収束は各点収束での収束をいえば良いです。 各点収束と同値なノルムが存在するという背理法の仮定があることを思い出して下さい。 従って、g_n→0は、任意のxについてそれぞれにあるNxがあり、  n>Nx ならば g_n(x)=0 ・・・(1) を言えば十分です。 まずf_nの定義により、f_n(0)=0です。従ってg_n(0)=0です。 x>0としましょう。2/n≦xとなるnを取ると定義によりf_n(x)=0、従ってg_n(x)=0です。 Nx=2/xとおけば、(1)が成り立っています。 以上、証明はあくまでΩ=[0,1]についてのものです。しかし証明の内容からΩが有界閉区間を含めば同様な証明ができそうだと感じられるでしょう。 私がANo.1で指摘し、ANo.2で説明されている反例(各点収束と同値なノルムが取れる例)は、Ωが有限集合の場合です。 ANo.2では「離散位相をいれる」と書かれていますが、ΩがR^nの有界閉集合であることから部分位相として当然に離散位相が入ります。 このときC(Ω)はΩの要素数を次元とする有限次元ベクトル空間になり、この上のノルムは各点収束位相と同値です。 一般論として「R^nの有界閉集合Ωにどの程度の条件を与えるとC(Ω)上の各点収束位相が同値なノルムを持たないことが言えるか」はよく分かりません。 少なくともΩの中に曲線を取れれば質問の例と同じ方針で証明できると思いますが……

dora_1984
質問者

お礼

なかなか奥が深いようですね。今の私には、理解できない部分もありますが、rinkunさんの回答はとても具体的で、とてもわかりやすかったです。これを参考にして勉強もっとがんばりたいと思います。また何かありましたらよろしくお願いします。今回は、いろいろありがとうございました。

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