微分方程式の解き方

質問

{d^2x/dt^2}-x=2(t^2)e^(-t)
の微分方程式を解く問題で、解答を見ると、

d/dt=Dと置いて
(D^2-1)x=2(t^2)e^(-t)　・・・<1>
e^t(D^2-1)x=2t^2　・・・<2>
{(D-1)^2-1}(e^t・x)=2t^2　・・・<3>
(D^2-2D)(e^t・x)=2t^2　・・・<4>
(D-2)D(e^t・x)=2t^2
(1-D/2)(D(e^t・x))=-t^2
・・・

とあるのですが、<2>から<3>のように変形できるのが良く分かりません。
<4>以降は理解できましたので、<2>から<3>のようにできる理由を教えてください。
微分方程式特有の計算のような気がしてならないのですが、
Dが普通の実数ならさすがにできませんよね。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

方向性として，演算子を前に持っていきたいのですよね。
ですから，<2>の形から左辺を　演算子×(e^t・x)という
形にならないか検討するわけです。そこで，e^t と x の
間に演算子を挟む基本形がどうなるか計算してみます。
　D(e^t・x) = e^t・x + e^t Dx
　ゆえに　e^t Dx = (D-1)(e^t・x)
　D^2(e^t・x) = D(e^t・x) + e^t Dx + e^t D^2 x
　ゆえに　e^t D^2 x = (D^2-D)(e^t・x) - e^t Dx
　　　　　　　　　　= D(D-1)(e^t・x) - (D-1)(e^t・x)
　　　　　　　　　　= (D-1)^2 (e^t・x)
あとはおわかりでしょう。私の力ではこれ以上エレガントには
できませんでした。（＾＾；

補足

どうもありがとうございました。
頭の悪い私にも理解することができる説明で、
大変助かりました。

ところで、またふと一つ疑問が出てきてしまったのですが、
<1>から<2>へ行くところで、e^tを左からかけてるのですが、
これは右からかけてはダメなことなんだと思います。
微分ですから、積の微分になって、なんかダメって気がしちゃいます。
（現に、わざわざD^2(e^t・x)を計算してe^2 D^2xを求めてるのだから、
明らかに D^2(e^t・x)≠e^t D^2 xですよね。。）
そこれ微分する変数（今回の場合はt）を含むものを
かけるとき、どっちからかけないといけないということは決まっているのでしょうか。
（というか、決まっていたら今回は左ですから、左ということになると思いますけど）
よろしくお願いします。。
そして、回答して下さいまして、ありがとうございました。

回答No.3

yokkun831

(D^2-1)x のような場合も，(D^2-1)(x) と（）を
補って考えましょう。

お礼

なるほど、括弧をつければ、
微分演算子がどこまでかかっているか分かりやすいですね。
ありがとうございました。

回答No.2

yokkun831

疑問については，すべてお考えのとおりです。
微分演算子の右側は実際（　）でくくられていますね。
（　）の外で右からかけるのはいいとして，（　）の中に
入れちゃだめということですよね。
たとえば vを定数として，
D(vt)=v　--->　t・D(vt) = D(vt)・t = vt
　　　　　　　　　　　　≠ D(vt^2) = 1/2 vt
これは，関数f(x)で一般に　f(x)・x = f(x^2)
などとはなるはずのないことと同じです。

お礼

どうもありがとうございました。
微分演算子がかかるかどうかを意識するのが
重要ということですね。。