Parsevalの等式と指示された関数を用いてΣ[k=1..∞]1/(2k-1)^2とΣ[k=1..∞]1/k^2の和を求める方法

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このQ&Aのポイント
  • Parsevalの等式を使って指示された関数を用いてΣ[k=1..∞]1/(2k-1)^2の和を求める方法を解説します。
  • また、同様にParsevalの等式と指示された関数を使ってΣ[k=1..∞]1/k^2の和を求める方法も解説します。
  • 具体的な計算手順と結果をまとめているので、参考にしてください。
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Parsevalの等式と指示された関数を使ってΣ[k=1..∞]1/(2k-1)^2とΣ[k=1..∞]1/k^2の和を求めよ

[問] (1) 直交系{sin(nx)}は[0,π]で完全とする。Parsevalの不等式は Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π](f(x))^2dxとなる。但し ,b_n=2/π∫[0..π]f(x)sin(nx)dx (2) Parsevalの等式と指示された関数を使って次の級数の和を求めよ。 (i) Σ[k=1..∞]1/(2k-1)^2,f(x)=1 (ii) Σ[k=1..∞]1/k^2,f(x)=x で(2)の求め方が分かりません。 b_n=2/π∫[0..π]1・sin(nx)dx=2/π∫[0..π]sin(nx)dx=2/π[-1/ncos(nx)]^π_0=4/(nπ) Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2 となったのですがこれからどうすればいいのでしょうか?

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回答No.3

偶関数だからというより、ｎが偶数のとき 　b_n = 2/π∫[0..π] sin(nx)dx は n/2周期にわたる積分になるので0です。

AkiTamura
質問者

お礼

> 偶関数だからというより、ｎが偶数のとき > 　b_n = 2/π∫[0..π] sin(nx)dx > は n/2周期にわたる積分になるので0です。 そうですね。 k∈Nの時, b_(2k) = 2/π∫[0..π] sin((2k)x)dx=2/π∫[0..π/2]sin(2kx)dx+2/π∫[π/2..π]sin(2kx)dx =(1-(-1)^k)/(πk)+((-1)^k-1)/(πk)=0 となりますね。 従って, b_(2k-1)=2/π∫[0..π]1・sin((2k-1)x)dx=2/π∫[0..π]sin((2k-1)x)dx=2/π[-1/(2k-1)cos((2k-1)x)]^π_0=4/((2k-1)π) Σ[n=1..∞](b_n)^2=Σ[n=1..∞](b_(2k-1))^2=Σ[n=1..∞](4/((2k-1)π))^2 一方,2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2 故にParsevalの等式Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π](f(x))^2dxに代入して Σ[k=1..∞](4/((2k-1)π))^2=2 16/π^2Σ[k=1..∞]1/(2k-1)^2=2 ∴ Σ[k=1..∞]1/(2k-1)^2=π^2/8 と解けました! (ii) Σ[k=1..∞]1/k^2,f(x)=xについては b_n=2/π∫[0..π]xsin(nx)dx=2/π[-x/ncos(nx)+1/n^2sin(nx)]^π_0 =2(-1)^(n+1)/(nπ) 一方,2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]x^2dx=2/π[x^3/3]^π_0=2/π・π=2π^2/3 故にParsevalの等式Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π](f(x))^2dxに代入して Σ[k=1..∞]4/(kπ)^2=2π^2/3 4/π^2Σ[k=1..∞]1/k^2=2π^2/3 ∴Σ[k=1..∞]1/k^2=π^4/6 と解けました。

その他の回答 (2)

回答No.2

ついでに言うと、 　Σ1/(2k-1)^2 = π^2 /8 になりました。

AkiTamura
質問者

お礼

> ついでに言うと、 > 　Σ1/(2k-1)^2 = π^2 /8 > になりました。 えっえっ! どのようにして b_n=2/π∫[0..π]1・sin(nx)dx=2/π∫[0..π]sin(nx)dx=2/π[-1/ncos(nx)]^π_0=4/(nπ) Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2 からそこに辿り着けるでしょうか?

回答No.1

書いてある通りにやるだけじゃないの。まずf(x)=1 でｎが偶数のとき、b_nが０でないとおかしいと気がついてくれ。

AkiTamura
質問者

お礼

ありがとうございます。 > 書いてある通りにやるだけじゃないの。 b_n=2/π∫[0..π]1・sin(nx)dx=2/π∫[0..π]sin(nx)dx=2/π[-1/ncos(nx)]^π_0=4/(nπ) Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2 とやってみたのですがこれからどうすればいいのでしょうか? > まずf(x)=1 でｎが偶数のとき、b_nが０でな > いとおかしいと気がついてくれ。 f(x)=1は偶関数だからフーリエ係数でb_nsin(nx)部分が消えないといけないという事ですね。 nが偶数の時,(b_n=)4/(nπ)は0となりませんよね? すいません。どうすればいいのか分かりません。

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