場合の数の問題

質問

１から９の数をいくつか加えて和を１０にする。ただし、同じ数を何度用いてもよい。たとえば、１０個使うときは１+１+１+1+1+1+1+1+1+1の一通りである。
（１）３個の数を用いる場合は何通りあるか。
（２）８個以上の数を用いる場合は何通りあるか。
（３）全部で何通りあるか。
この問題がどうしても解けません。解答方法をおしえてください。

回答No.4

kumipapa

＞　2個の数の和を10とするのは、1+9 2+8…8+2 9+1で9通りです。
了解です。すると、問題はかなり簡単になります。
#3 さんがおっしゃるように○と｜（○と棒）を並べる方法を考えるのですが、#3 さんのは丸棒分配法といわれる考え方で、一般的に０を許さない場合（今回の問題の場合）は、ちょっとだけ違う仕切り分配法という考え方をします。って、いばって説明するほどのものじゃないんだけど。

（１）３個の数を用いる場合
○を１０個並べ、その○と○の間に仕切りを２つ立て、３つのグループに分ける方法を考えます。この３つにグループを分かれた数を、そのまま足し算する数に対応させます。たとえば、
○｜○｜○○○○○○○○　→　１＋１＋８
○○｜○○○○○｜○○○　→　２＋５＋３
すると、○と○の間（９箇所）のうち、３－１＝２箇所を選んで仕切りを立てる場合の数が、３つの整数の和が１０になる組み合わせの数になります。
よって、9Ｃ2 = 36 通りが答えになります。「○と○の間に仕切りを立てる」という考え方をすれば、○○｜｜○・・・のように棒と棒の間に○が無い（数値としてゼロを表す）場合を排除できます。

（２）８個以上の場合
全く同様に考えて、
８個のとき　→　○と○の間９箇所のうち８－１＝７箇所に仕切りを立てる
　　　　　　　→　9 Ｃ 7 = 36 通り
９個のとき　→ 9 Ｃ 8 = 9 通り
１０個のとき　→ 9 Ｃ 9 = 1 通り

（３）全部で何通り
数字が
１個のとき　→　なし
２個のとき　→　9 Ｃ 1 通り
・・・
ｋ個のとき　→ 9 Ｃ (k-1) 通り　　（ 2≦ k ≦ 10 ）
・・・
１０個のとき　→ 9 Ｃ 9 通り
よって全部で
Σ[k=1,9] 9Ｃk = 2^9 - 9 Ｃ 0 = 511
かな？前回の回答は何だろ、何か勘違いしちゃったみたいです。ごめん。

（　Σ[k=0,n] nＣk = 2^n はよいですよね？　）

回答No.3

narucross

イメージしやすい方法でやってみましょう。
○を十個書いて、一つの○を１とします。
○と○の間に仕切りを置いて考えます。（たとえば、三個の数を用いる場合であれば、仕切りは二つということですね。
○○○ｌ○○ｌ○○○○○は、3+2+5を意味します）
面倒ですが数字を二つ使う場合から十つ使う場合の九通りすべて考えてみて、足し算すれば答えは出てくると思います。

（１）だけ解答を示しておきます。
○10個と、仕切り二本を一列に並べるので、同じものを含む順列の考え方で、
12!/10!*2!=66
しかし、これでは仕切りが端っこにある場合や、仕切り二本が隣同士になってしまった場合は不適切ですね。
なぜ不適なのかというと、三つの数と言っているのに、（6,0,4）のような組み合わせを考えることになるからです。
（○○○○○○ｌｌ○○○○）
そこで、妙な表現になりますが、三つの数にあらかじめ○を一つずつ分け与えておく、すなわち必ず三つの数が1以上になるようにしておくのです。
つまり、先ほどの式を○7個でやり直すのです。そうすると、仮に、仕切りが端っこにいったとしても、あらかじめ各数字が1以上になるようにしておいたために、問題ないことがわかります。
で、求めたい値が出てきます。
9!/7!2!=36

数学ＢでΣ記号を履修済みの方なら、
数字をk(2≦k≦10)個使う場合、（仕切りを1つ～9つ使う場合、
kを用いて何通りかを求め、Σを使ってkを動かして求めることもできます。（ただ計算がやっぱりしんどいです。地道にやったほうが早いかも・・）

この仕切りの考え方は、たとえばリンゴ、みかん、バナナを合わせて10個買った。何通りあり得ますか。　　・・・みたいな問題でも使えます。参考になれば幸いです。

回答No.2

kumipapa

質問です。
たとえば、２個の数の和を１０とする場合、１＋９と９＋１、２＋８と８＋２はそれぞれ区別しますか？
９個の数の和を１０とする場合は、１を８個と２を１個という組み合わせしかありませんが、それは１通りと数えますか？それとも２を加える順も考慮して９通りと数えますか？

和を取る数字の順を区別する場合は 510 通り、区別しない場合は 36 通りになると思うのですが、どっちでしょう。

補足

2個の数の和を10とするのは、1+9 2+8…8+2 9+1で9通りです。

回答No.1

koko_u_

教科書にそのまま載ってそうな問題です。ラッキー。