背理法

質問

すみません
ひとつ聞きたいことがあります。
背理法についてなのですが、その証明の仕方がわかりません
例えば
ＱがＰと同じ側にあるとすれば、△ＡＢＰ＝△ＡＢＱより
ＰとＱは同じ点になるか、ＰＱを結ぶ線がＡＢと平行になるはず。
が、ＡＢの傾きは１であるから、ＰＱの傾き３と一致しません。

ということを証明したいのですが、どのように表せばよいのですか？

回答No.3

kabaokaba

jap_boy = keio_love？．
私がいったことはスルーしても参照はしてるんですな
理解できてるのかどうか
わからんけども，証明自体はそれでおわり．

回答No.2

kumipapa

「ＱがＰと同じ側にあるとすれば、△ＡＢＰ＝△ＡＢＱより
ＰとＱは同じ点になるか、ＰＱを結ぶ線がＡＢと平行になるはず。
が、ＡＢの傾きは１であるから、ＰＱの傾き３と一致しません。」

わざわざ数式で証明するまでもあるまい。これはこれで、良いと思う。「～ＰＱの傾き３と一致しません。故にＱはＰと同じ側にはない」

辺ＡＢは y = x + 2 上の A(-1, 1) と B(2, 4) 。
点Ｐ（p, p^2) は y = x^2 上の点で -1 ＜ p ＜ 2 であり、グラフで書くと直線 y = x + 2 の下側にある。これを数式で表現するなら、p^2 ＜ p + 2 とか p^2 - p - 2 ＜ 0 だ。

点Ｑ (q, q^2) と 点Ｐが直線 y = 3x + a 上の点であるとき
△ABP = (3/2) |p^2 - p - 2|
△ABQ = (3/2) |q^2 - q - 2|
△ABP = △ABQ　のとき、点ＱがＰと同じ側にあるなら
(3/2) |p^2 - p - 2| = (3/2) |q^2 - q - 2|
-(p^2 - p - 2) = - (q^2 - q - 2)
-p^2 + q^2 + p - q = 0
-(p + q)(p - q) + (p - q) = 0
(p - q)(1 - p - q) = 0
故に p = q (点Ｐと点Ｑは同じ点）または p≠q かつ p+q = 1 （ ⇔　(q^2 - p^2)/(q - p) = 1 即ち PQの傾きは 1 であり、PQ // AB）
これは PQ の傾きが 3 であることに矛盾。
前の質問にも回答しておくから参照してください。

回答No.1

teka2

問題文が無いのであれですが、ほとんど答えが書かれていると思います。

QがPと同じ側に"ない"ことを証明したいとき、
QがPと同じ側に"ある"と仮定して矛盾を導くのが背理法です。
"ある"と仮定したとき矛盾が生じれば、仮定が間違っていることになるので、必然的に"ない"ということになります。
ですので、その文の最後に

「故に,背理法によりQはPと同じ側にない．」

とすれば証明終です。