- ベストアンサー
上極限、下極限が理解できません
大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。 上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。 例 X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。 こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。 よろしくお願いします。
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- 上界と下界、上限と下限
上界と下界、上限と下限 数列の定義(解析演習 by 杉浦光夫さん)のpage4に上界と下界、上限と下限の説明があります。 [実数Rの部分集合Aにおいて、実数xですべてのAの元aに対してa<=xとなるものを上界]という説明は納得できました。 一方で上限の説明で [Aの上界に最小元が存在するときこれを上限という]という説明がよく理解できません。 Aの上界という部分では集合Aのうちの最大の値を持つ元がでてくると思うのですが、「最小元」を持ち出して「上限」と言っているのがよくわかりませんでした。 上限の具体的な例など教えていただけますでしょうか? また、Aの上界に最小元が存在しないとき、の例というのはどういうものでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 集合 上限 下限
集合 上限 下限 Wikipediaによれば、 上界の集合の最小元(つまり、最小の上界)のことを、上限といい、sup(A) と書く。 下界の集合の最大元(つまり、最大の下界)のことを、下限といい、inf(A) と書く。 http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/supmax031208.pdf を参考にしたのですが理解出来できませんでした。 Aを実数の部分集合とするとき、 実数 a が、Aの上界であるとは、Aの任意の元x に対して、x≦a が成り立つことである。 そのなかで、最小の上界を上限と言う。 ピンときません・・・ 具体例を示して教えて頂けるとありがたいです。 ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題がわかりません@@教えてください><;
(1)S={1/n | n∈N}とおく Sの上界があれば1つ書け。 Sの下界があれば1つ書け。 (2)S⊂Rとする。次を示せ(証明しなさい) Sが有界である⇔あるM>0があり、S⊂{x∈R | |x|≦M} (1)についてなのですが、上界、下界というのは上限、下限とは異なるのでしょうか?@@ 調べてみたところ、上限は1、下限は0とありましたが、これの事を指すのでいいんでしょうか? (2)については、どう書けばいいんでしょうか?@@ なるべく丁寧に教えていただけるとありがたいです><
- ベストアンサー
- 数学・算数
- sup{-1/x:x∈(0,∞)}=0であることを上限の定義に従って証明
実数Rにおいて、sup{-1/x:x∈(0,∞)}=0であることを上限の定義に従って示せ。 という問題が出ました。 以下が私の考えた証明です。 任意のa∈{-1/x:x∈(0,∞)}に対し、a<0であるから、 0は{-1/x:x∈(0,∞)}の上界の1つである。 y<0とすると、Rの稠密性より、 y<z<0となるz∈{-1/x:x∈(0,∞)}が存在する。 従ってyは(0,1)の上界ではない。 以上から、0が最小上界である。 大体はいいらしいのですが、 >z∈{-1/x:x∈(0,∞)}が存在する がちょっと問題があるみたいです。 Rの稠密性を使っても、{-1/x:x∈(0,∞)}のように、限定した集合の中にzが入ることは分からない、というのが問題みたいです。 ここが問題だということは理解できたのですが、それを証明の中にどのようにして述べればいいのかがわかりません。 回答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- sup()とmax()の違い
関数の上界値supと最大値maxの違いがわかりません。 例としてf(x)=-e^x,(定義域実数全体)とかは上界値で考えるのはなんとなくわかるのですが…それ以外で使い分けるようなことってありますか?「この関数なら意味はほぼ同じじゃん!」という問題にぶち当たっているので…お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- sup{-1/x:x∈(0,∞)}=0であることを上限の定義に従って証明
R(実数全体)においてsup{-1/x:x∈(0,∞)}=0であることを上限の定義に従って示せ。 という問題がでました。 以下が私が考える証明です。 任意のa∈{-1/x:x∈(0,∞)}に対し、a<0であるから、0は{-1/x:x∈(0,∞)}の上界の一つである。 x<0とすると、Rの稠密性より、 x<z<0となるz{-1/x:x∈(0,∞)}が存在する。 従って、xは(0,1)の上界ではない。 以上から、0が最小上界である。 というのが私の証明です。 まずこの証明の流れが正しいかが心配です。 あと気になっていることが2点あるのですが、まず、{-1/x:x∈(0,∞)}は(-1,0)の範囲にあるということをこの証明の中で述べたほうがよいかということです。 2点目は、この問題はもとからxを使っているので、証明の中の3行目で、『x<0とすると』のxは使ってもよいかということです。駄目な場合は、どの文字が一番適しているかを教えてほしいです。 カイトウよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 上界と上限と最大値の違い
上界と上限と最大値の違いはなんでしょうか なんとなく違う気はするのですが、うまく説明することができません これらはどのように使い分ければよいのでしょうか 明確な定義などはあるのでしょうか
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 偏差値の計算について
例えば学校のテストなんかで、 平均点:A、標準偏差:S だった場合、点数がxだった人の偏差値(Std)は Std = 50 + 10*z, z = (x - A) / S 【式(1)】 と計算できます。 ここからが質問なのですが、質問は2点です。 まず、学校のテストは多くは下限点が0、上限点が100ですが、 【式(1)】に出てくる50だとか10だとかは、0点以上100点以上のテストにおいて 何か意味のある数字なのでしょうか。例えば50は上限点と下限点の平均値ですよね。 あるいは特に意味はなく、偏差値を定義するときに唐突に現れる数値なのでしょうか。 また、これをもう少し一般化して、 下限点i、上限点jのテストだった場合、偏差値の計算は【式(1)】からどのように変わるのでしょうか。 iとjは整数値とします。 解答に対して補足やお礼をせず放置することはしませんので、よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 解析の問題です。
解析の問題です。 E ⊂ R(:実数) E' = {x+1 | x ∈ E} とすると、次の命題は真か偽か? 真なら証明を、偽なら反例述べよ。 (1) a は E の上界 ⇒ a+1 は E' の上界 (2) a は E の上限 ⇒ a+1 は E' の上限 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (1)は真であることは次のように示しました。 上界の定義: 『任意のx∈Eに対し、x ≦ a が成立』より、 両辺に1を足して、x+1 ≦ a+1 が全てのxについて成り立つ。 これは a+1 が E' の上界であることに他ならない ■ (2)は偽…だと思うのですが、 判例が作れません… そもそも偽だと思うのが間違っているのでしょうか? どなたかアドバイスをお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。 おかげさまで理解することができました。 下極限の方は「ずっと先のほうでは、下極限の値より小さくならない」ということですね。