- ベストアンサー
一次従属の問題
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
【線形独立と線形従属の定義】 K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、 a1x1+a2x2+・・・+anxn=0 を満たす ak (k=1,2,・・・,n) が、 a1=a2=・・・=an=0 だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。 【問題】 3つのベクトル、 A=(1,1,1) B=(1,-2,3) C=(2,1,a) が線形従属であるとき、aの値を求めよ。 【解答】 3つのベクトル、 A=(1,1,1) B=(1,-2,3) C=(2,1,a) が、線形従属であるための条件は、 xA+yB+zC=(0,0,0) (x,y,z)≠(0,0,0) を満たす x,y,z が存在することである。 xA+yB+zC =x(1,1,1)+y(1,-2,3)+z(2,1,a) =(x+y+2z,x-2y+z,x+3y+az) =(0,0,0) より、 x+y+2z=0 … (1) x-2y+z=0 … (2) x+3y+az=0 … (3) (1)-(2) 3y+z=0 ∴ z=-3y … (4) (1)×a-(3)×2 (a-2)x+(a-6)y=0 ∴ (a-2)x=(6-a)y … (5) (イ)a=2であるとき (5),(4),(1)から、 x=0, y=0, z=0 (ロ)a≠2であるとき (5)から、 x=(6-a)y/(a-2)={-1+4/(a-2)}y … (6) (4),(6)を(1)に代入すれば、 {-1+4/(a-2)}y+y-6y={-6+4/(a-2)}y=0 … (7) (あ)y=0であるとき (4),(5)から、 x=0, z=0 (い)y≠0であるとき (7)から、 -6+4/(a-2)=0 ∴ a=8/3 以上より、a=8/3ならば、例えば、y=1のとき、(4),(6)から、 x=5, z=-3 であるから、 xA+yB+zC=5(1,1,1)+(1,-2,3)-3(2,1,8/3)=0 が成り立つ。ゆえに、 a=8/3 … (Ans.)
その他の回答 (3)
- oshiete_goo
- ベストアンサー率50% (374/740)
#2ですが, 補足訂正です. #2の回答中 >となる実数s,tが存在することである. と書きましたが, この問題においては十分なのですが,定義からすると,完全に一般的には >となる定数s,tが存在することである. とするべきでした(複素数s,tでスカラー倍を考えている). 訂正いたします. また#3のご回答中 >線形独立(linear independent)、 >線形従属(linear dependent)であるという とありますが,(多くの人が参照するので,正確を期するために申し添えると) それぞれ 線形独立(linearly independent) [←線形独立な] 線形従属(linearly dependent) [←線形従属な] となります. ただし,independent,dependentはいずれも品詞は形容詞で,(名詞形ではありません)ほとんどこの形容詞形で表現されます.
お礼
補足まで加えてくださって、とても参考になりました。 ありがとうございました。
- oshiete_goo
- ベストアンサー率50% (374/740)
[別解] 与えられた3つのベクトルが1次従属である条件は →A≠→0, →B≠→0 を考えると →C=s(→A)+t(→B) となる実数s,tが存在することである. これを,s,t,aの連立方程式と見て解けばaが決まる.
- nominomi
- ベストアンサー率6% (1/16)
この場合三つのベクトルが一次独立である条件はこのベクトルの行列式が0でない。一次従属であるためには行列式が0であるということになります。
お礼
早い回答、ありがとうございました。
関連するQ&A
- 空間ベクトルの従属・独立の証明
sが4以上ならば、s個の空間ベクトルの組は必ず従属となることを証明せよ という問題なのですが、どのように解いたら良いのかわかりません。 3つのベクトルa,b,cが独立ならば (1)行列式(a b c)は0ではない (2)4点O,A(ベクトルa),B(ベクトルb),C(ベクトルc)は同一平面上にない (3)ベクトルa,b,cが平行六面体を作る という定理があると思うのですが、これを満たさなければ従属である、ということから導いていくのかなと思ったのですが、どのように証明すれば良いのかわかりません。 数学的帰納法を使用するのでしょうか? アドバイス等でも良いので、どなたか回答をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の一次従属、独立に関する問題
以下のような問題なのですが、一次従属と一次独立に関してはなんとなくわかったのですが、垂直ベクトルがからんだ場合の解き方が全く浮かびません。かなり低レベルな質問なのかもしれませんが、困ってます。よろしくお願いします。(数式記号が出せないのと英語の問題を自分なりに翻訳したので読みにくいかもしれませんがよろしくお願いします。) 【問題】 (1) R3中のa,b,cというベクトル全てが0以外でかつ、a垂直ベクトル記号b,b垂直ベクトル記号c、a垂直ベクトル記号cの場合、a,b,cが一次独立であることを証明せよ。 (2)Rm中のベクトルa1...an全てが0以外でかつai垂直ベクトル記号aj でiとjが異なる時、a1...anが一次独立であることを証明せよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 一次従属 一次独立
ベクトルの一次従属と一次独立についての質問です。 前回、ご回答頂けなかったので改めて質問させて頂きます。 一次従属と一次独立を求めると何の役に立つのでしょうか? 抽象的な質問ですいません。ふと思いました。 一次従属と一次独立を以下に示します(補足があったらお願いします)。 ■一次従属 ・0ベクトル。 ・ベクトルAとベクトルBが平行である。 ・二つのベクトルを行列にして、行列式が0であれば一次従属 ・階段行列からrankを求めてrankがベクトルの数と等しく無ければ一次従属 ■一次独立(一次従属ではない) ・0ベクトルでないベクトル。 ・ベクトルAとベクトルBが一次結合で表される(二つのベクトルが平行でない)。 ・二つのベクトルの行列式が0である。 ・rankがベクトルの数と等しい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトルの問題です。
ベクトルについて、ご教授頂けますでしょうか。 お時間頂いて申し訳ありませんが、ご回答のほど、よろしくお願い致します。 以下の問題になります。 (1)Vを実ベクトル空間とし、a,b,c,dをVに属するベクトルとする。 a,b,cが線形従属であるとき、a,b,c,dも線形従属であることを、定義に従い示せ。 (2)4つのベクトル a=(1, -1, 0, 0 ),b=(1, 0, -1, 0 ),c=( 1, 0, 0, -1 ),d=( 0, 1, -2, 1 ) について、それらが線形従属であるか理由を述べ、判断せよ。 可能でありましたあら、途中の計算等も教えて頂けると助かります。 申し訳ありません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 一次独立・一次従属
n個のベクトル{a1,...,an}が((1))であるとは ((2))スカラー c1,...,cnに対して,c1a1+・・・+cnan=0ならば 常にc1=・・・=cn=0となる ことである n個のベクトル{a1,...,an}が((3))であるとは ((4))スカラー c1,...,cn(すべてが0ではない)に対して c1a1+・・・+cnan=0とできることである c1a1+・・・+cnan=0を満たすn個のベクトル{a1,...an}が((5))ならば ((6))番号iに対して、ci≠0であり、 ai=Σ{-(cj/ci)*aj}と((7)) ※Σの下に(j≠i)が入ります (1)~(7)の解答群は 一次独立、一次従属、任意の、ある、表せる、は表せない の6つのうちのどれかです 答えがなくかつ少し理解できない所があるので回答お願いします 自分で解いてみましたが (1)一次独立(2)ある(3)一次従属(4)任意の(5)一次従属(6)任意の(7)表せる となりました よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 1次独立・1次従属とは?
1次独立・1次従属とは何でしょうか。参考書であまりていねいに説明されてないので、よく分かりません。あまり重要な事柄ではないのでしょうか。 2つのベクトルa→,b→が1次独立 ならば a→≠0→ b→≠0→ a→平行b→ではない とかいてありますが・・・・ 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 1次独立と1次従属の問題について
問. 1 1 a a1=(1) a2=(a) a3=(1) a 、 1 、 1 とするとき、1次独立、1次従属であるときのaの値を求めよ。 という問題がありまして、先生の解答は、 解) c1a1+c2a2+c3a3=0のとき 1 1 a c1(1)+c2(a)+c3(1)=0 a 1 1 c1+c2+ac3 0 (c1+ac2+c3)=(0) ac1+c2+c3 0 11a 0 (1a1)=(0) a11 0 c1 (c2)=0となるためには c3 11a (1a1)=A とすると a11 A^-1が存在しなければならない A^-1が存在するのでAは正則 従って|A|≠0 |A|=(a+a+a)-(a^3+1+1) =-(a-1)^2(a+2) |A|≠0よりa≠1、-2のとき a1、a2、a3は1次独立 a=1、-2のときa1、a2、a3は1次従属// なのですが、何かおかしいなと思いまして(^^;) 個人的な意見としては、 11a c1 0 (1a1)(c2)=(0) -(1) より a11 c3 c1 (c2)=B とすると c3 (1)を満たすには c1 ⅰ)AとBが正則で(c2)=0 c3 ⅱ)Aが零因子である→|A|=0 になればよいわけで、 なのにどうして「“A^-1が存在するので”Aは正則 従って|A|≠0」と言えるのか…A^-1が存在することを示すためには|A|≠0を示す→だからAは正則という形にしなければならないと思うのですが…。あと、何故a≠1、-2のときa1、a2、a3は1次独立 a=1、-2のときa1、a2、a3は1次従属になるのかも良く分かりません。教科書と参考書を何回も見たのですがさっぱりです。無知ですみませんm(__)m基本的な質問で申し訳ありませんが答えて下さると嬉しいです。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
丁寧な回答ありがとうございました。 どうやって解けばいいかが良くわかりました。