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Michael直線
i(Q)…「有理数全体の集合Qの内部」 Cl(P)…「無理数全体の集合Pの閉包」 を意味します。 「Michael直線Mについて、次を求めよ。 (1) i(Q) (2) i(P) (3) Cl(Q) (4) Cl(P) ------------------------------------------------------------ Michael直線Mの定義を以下のようにします。 M=(R,T)、T=E∪{{p}：p∈P} E：ユークリッド位相、R：実数全体 (1)∀q∈Qの近傍V(q)は必ず無理数を含むのでV(q)⊂Qとならないのでq∈i(Q)ではない。よって、i(Q)=φ。 (2)∀p∈Pには近傍{p}があり（Michael直線の定義）当然{p}⊂Pなのでp∈i(P)。よってi(P)=P。 (3)∀p∈Pには近傍{p}があり{p}∩Q=φとなるのでp∈b(Q)ではない、即ちP∩b(Q)=φ。PとQは排反だからb(Q)⊂Q。よってCl(Q)=Q∪b(Q)=Q。 (4)∀q∈Qの近傍V(q)は必ず無理数を含みV(q)∩P≠φなのでq∈b(P)、即ちQ⊂b(P)。よって、Cl(P)=P∪b(P)=P∪Q=R。 なお、(1)(2)について、i(A)≡{a∈A：V(a)⊂Aとなる近傍V(a)が存在}。また(3)(4)について、b(A)≡{x∈R：任意の近傍V(x)がV(x)∩A≠φとなる}。 --------------------------------------------------------------- 最後の(4) Cl(P)はＲではなく、やはりＭなのでしょうか？ また、（１）～（４） 証明または解答は合っていますでしょうか？ また、他の証明があれば教えて欲しいと思います。 宜しくお願いします。
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