四面体の体積=OA・OB・OC/6の証明と試験での利用

質問

四面体OABCの体積Vを求めよという問題で
V=(OA・OB・OC)/6というものが回答に出ていたのですが、
どうしてこのように表す事ができるのでしょうか?
またこの式は大学入試において使用しても構わないのでしょうか?

回答No.4

info22 · ベストアンサー

(OA×OB)/2の
絶対値が△OABの面積です。
高校ではベクトル積がベクトルになると言うことは範囲外で教えていないと
思います。外積としての大きさ（絶対値）として|OA|*|OB|*sinθ位までしか
教えないと思います。

以下大学レベルです。

大学では外積はベクトル積として教え、ベクトル積も大きさ（高校で定義のもの）と方向を持ったベクトル（OAをOBに重ねるように回転したとき模右ねじが進む方向がベクトルの正方向）として定義されています。

「×」はOAとOBの外積を表します。
「・」内積を表しますがベクトルでなくスカラー（大きさだけの量）になります。
|(OA×OB)・OC|/6={(1/2)|OA|*|OB|*sinθ}*OC*cosφ*(1/3)
=△OAB*(△OABの単位法線ベクトル)・OC*(1/3)
=△OAB*{|OC|*cosφ}*(1/3)
=△OAB*|CH|*(1/3)=四面体（三角錐）の体積
|CH|はCから△OABに下ろした垂線で四面体の高さになります。
θはOAとOBのなす角、φは△OABに垂直な（ベクトル積の方向）法線ベクトルとOCのなす角です。

以上から
＞V=(OA・OB・OC)/6　←特別の場合しか成立しないので間違った公式です。
四面体の体積V=|(OA×OB）・OC｜/6　←正しい公式
となります（OA,OB,OCは交換可能）。
高校レベルだと
四面体の体積V={|OA|*|OB|*sinθ*(1/2)}*{|OC｜*|cosφ|}*(1/3)
(=底面積*高さ/3=角錐の体積の公式)
という公式で表すしかないですね。

入試では
V=底面積*高さ/3=角錐の体積（公式）
底面積S=|OA|*|OB|*sinθ*(1/2)
高さh=|OC｜*|cosφ|
と簡単に書くことで説明した方が無難でしょう。

お礼

詳細な解説ありがとうございます。

この問題がベクトルを使った問題だったので、ベクトルを使った説明はとても参考になりました。といいたいところなのですが・・・
外積をまったく学校で習ってなく、ちょっと意味がわかりませんでした。
時間があるときに、じっくり読んで理解してみたいと思います。

回答ありがとうございました。

回答No.3

okormazd

半日も考えたのに・・・。

お礼

この質問を半日も考えてくださったということなんでしょうか?
答えが出なかったとはいえ、半日も費やして考えてくださったことに感謝です。
ぜひNo1,2,4の解説を見て下さい。

回答No.2

kkkk2222

ANo.1 です。

間違えました。訂正します。

OA⊥OB　かつ　OB⊥OC　では、
条件が足りません。

OA⊥OB　かつ　OB⊥OC　かつ　OC⊥OA　です。

あるいは、
OA、OB、OC　が互いに直交　です。

お礼

1/3×1/2で理解できました。
いきなり1/6だったので?でしたが
単純に三角形の面積を出し、高さをかけ、三角錐の高さにするために×1/3ということなんですね。
確かに冷静に考えてみれば小中学生でもわかる式でした・・・

解答ありがとうございました。

回答No.1

kkkk2222

回答/解説を再読して見て下さい。
OA⊥OBかつOB⊥OC
となっているはずです。
このときの式、
体積V=(1/3)[(1/2)・OA・OB]・OC=
は、当然の式です。