計算の仕方がわかりません＞＜

質問

三角関数の問題を解いている途中でこんな式にぶつかりました。

√3-1/√3+1＝2-√3

どうしてこうなるのか教えてください＞＜
結構簡単だったりするんですかね＾＾；

回答No.2

noname#74443 · ベストアンサー

(a+b)(a-b)=a2-b2を使います。

分子・分母に√3-1を掛けます。
(√3-1)(√3-1)/((√3+1)(√3-1))
=(3-2√3+1)/(3-1)
=(4-2√3)/2
=2-√3

回答No.1

sanori

まず、事前準備。
１／√３　は、分子と分母に√３をかけると、
√３／３　となり、分母が整数（あるいはその他の有理数）になります。
これを「分母の有利化」と言います。
（たぶん、教科書のどこかにかいてあるはず）

本番。
√３　－　１／√３　＋　１
　＝　√３　－　√３／３　＋　１
　＝　１×√３　－　１／３×√３　＋　１
　＝　（１　－　１／３）×√３　＋　１
　＝　２／３×√３　＋　１

あれ？　合いませんね。

まさか、
√３　－　１／（√３　＋　１）
ということですか？

１／（√３　＋　１）　の分母と分子に
　√３　－　１
をかけると、分母の有利化ができます。
１／（√３　＋　１）
　＝　（√３　－　１）／｛（√３＋１）（√３－１）｝
　＝　（√３　－　１）／（√３^2　－　１^2）
　＝　（√３　－　１）／（３　－　１）
　＝　（√３　－　１）／２
　＝　（√３）／２　－　１／２

よって、
√３　－　１／（√３　＋　１）
　＝　√３　－　（√３）／２　＋　１／２
　＝　√３・（１－１／２）　＋　１／２
　＝　１／２・√３　＋　１／２

これでも合わないです・・・

まさか、
（√３　－　１）／（√３　＋　１）
ということですか？

上記と同様に分母と分子に　√３　－　１　をかけて、分母を有利化します。
（√３　－　１）／（√３　＋　１）
　＝　（√３　－　１）^2／｛（√３　＋　１）（√３　－　１）｝
　＝　（√３　－　１）^2／（３　－　１）
　＝　（３　－　２√３　＋　１）／２
　＝　（４　－　２√３）／２
　＝　２　－　√３

やっと合いました。
疲れた・・・（笑）