- ベストアンサー
空集合の閉包について
空集合の閉包はcl(φ)=φでいいのでしょうか?
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- 閉包、境界を求めたい。
次の問題がわかりません。 問.ユークリッド平面R^2の部分集合族{An:n∈N}ただし、 An=( 1/(n+1),1/n )×[0,1) について、 (1)Cl (U {An:n∈N})を求めよ。(Clは閉包を表します。) (2)Bd (U {An:n∈N})を求めよ。(Bdは境界を表します。) (1)は、U{An:n∈N})=(0,1)×[0,1)となって、 Cl(U{An:n∈N})=[0,1]×(0,1] となると思ったのですが。 閉包や境界の定義を見ながら考えているのですが、具体例で考えると わかりません。上の問の答をどうやって求めればよいか教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 直積集合の空集合と全集合
σ集合体Ψ、Ωを使って、(*)のように直積をとった集合族の空集合と 全集合は何になるんでしょうか?ちなみに、Ψは集合Y、Ωは集合Zを もとに作られているとします。 {A×B; A∈Ψ, B∈Ω} (*) 空集合を0で表記すると、(*)の空集合は0×0、全集合はY×Zと思った のですが、正しいでしょうか。また、0×BやA×0はどう扱うのでしょうか。 Y×BとA×Zは全集合ではないというのはなんとなくわかるのですが…。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 空集合の扱い方について
とっても読みにくい文章になってしまいましたが、回答お願いします。記述の仕方のささいな誤りは見逃してください… 「P(x)を満たす任意のx∈R(実数)がQ(x)を満たす。」という命題(命題1)について、 P(x)を満たすxが存在しないとき(つまり、{x∈R|P(x)}=Φのとき)、この命題は真だと説明されました。 理由としては、 「この命題が偽ならば、P(x)を満たすがQ(x)を満たさないxが反例として存在するはずだが、P(x)を満たすようなxはそもそも存在しない。よって真である。」 ということらしいのです。 そこで、Q(x)の否定をR(x)として、「P(x)を満たす任意のxがR(x)を満たす。」(命題2)の真を同様に証明することもできるのでしょうか? もしできるのなら続けて質問があります。 P(x)を満たすxの集合をS、Q(x)を満たすxの集合をTとすると、命題1が成り立つとき、SはTに含まれています。Sが空集合の場合を考えると、空集合は任意の集合の部分集合である、といえます。(これは授業でやりました) しかし命題2が成り立つならば、SはTに含まれていません。空集合はどの集合にも含まれない、ということになりますよね。 空集合は任意の集合の部分集合であると同時に、どの集合にも含まれないという理解で良いのでしょうか? また、Q(x)=(x≦u)とすると、「SはTの部分集合である⇔uはSの上界である」となり、命題1をこれまでと同様に命題1をあてはめると、任意の実数uは空集合Φの上界である。となり、命題2をあてはめると任意の実数uは空集合Φの下界である。ということになりますが、これも上と同様の、任意の実数uは空集合Φの上界であり、下界である、というふうに理解したのでよいですか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 集合(スター閉包)
集合(スター閉包) 集合について勉強しはじめているのですが、以下の3つの言語の関係が成り立つことを示せという問題についてどのように示せばよいのかがわかりません。 1) {ε}*={ε} 空列は長さ0の文字列ですから、スター演算をしても結局すべて長さ0ということでこの関係が成り立つのでしょうか?その場合どのように示せばいいのでしょうか? 2) L*L*=L* 例えば、L={a}とすると、 L*={ε,a,aa,aaa,aaaa,......}となり、 L*L* = {ε,a,aa,aaa,aaaa,......}・{ε,a,aa,aaa,aaaa,......}となります。 L*ですでに、aで出来る全ての文字列は含まれているので、連結演算しても結局すべて同じ文字列の集合になると思うのですが、これをどのように示せばよいのでしょうか? 3) L*=(L*)* 上の例のようにL={a}とすると、(L*)*={ε,a,aa,aaa,aaaa,......}*となると思うのですが、これも結局aで出来るすべての文字列の集合とあると思うのですが、どのように示せばよいのでしょうか? 注意事項として、2つの集合が同じであると示すには、A⊆B 、B⊆Aの2つを示さなければならないと書いてあります。 2の問題で言えば、L*L* = {ε,a,aa,aaa,aaaa,......}・{ε,a,aa,aaa,aaaa,......}で結局aで出来るすべての文字列の集合ということでL*L*はL*の部分集合。 また同じ理由で、L*はL*L*の部分集合になると思うのですがいまひとつよくわかりません。 どなたかご教授宜しくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。