棒の釣り合い条件

質問

長さ2L,質量Mとする一様な棒が水平な床とそれに垂直な壁に立てかけられ、床にたいしてΘの角度をなしている。このときの床に対する棒の摩擦係数をu1、壁に対する摩擦係数をu2とするとき、この棒の釣り合う条件を求めたいのですが。

図がないのでわかりずらいかもしれませんが、

重力加速度をg
Rx：壁から受ける垂直抗力
Ry：床から受ける垂直抗力
fx：Ｂ点での摩擦力
fy：Ａ点での摩擦力

とします。

水平方向の釣り合いから
Rx - fx = 0・・・(1)
鉛直方向の釣り合いから
Ry + fy -Mg = 0・・・(2)
Ａ点の周りのモーメントから
Ry + fy -Mg = 0・・・(3)
摩擦力の関係から
fx = u1・Ry、fy = u2・Rx・・・(4)

と、式まではたてられたのですがこのあとどうすればいいのでしょうか？
まず、(1)～(4)の式のうち何から解いていき、最終的に何を求めれば？で止まってます。

回答No.4

htms42

私も解いてみました。
途中でわからなくなりました。
わかった範囲で書かせていただきます。

（ｉ）普通は角度Θを決めて抗力や摩擦力の大きさを求めるという問題です。角度Θを決めるということは「ある角度の位置で釣り合っているとすると」ということでそのための条件を求めることになります。Ｗ＝Ｍｇは与えられています。このとき条件式は３つ（質問文の中の式（１）～（３））になります。摩擦係数の入った式（質問文の中の式（４））を使うことは出来ません。摩擦係数は静止「最大」摩擦力と垂直抗力の関係を示しているものだからです。ある角度で棒を立てかけただけです。その位置が摩擦の限界の位置であったということではないはずです。
未知数はＲｘ，Ｒｙ、ｆｘ、ｆｙの４つになっています。解くことができなくなります。

（ii）床の摩擦も壁の摩擦も静止「最大」摩擦になっているとすると式が５つ出てきます。Ｒｘ，Ｒｙ，ｆｘ，ｆｙ，Θが決まります。限界の角度Θ’を求めるということになります。この角度よりも大きい角度であれば釣り合います。

（iii）Θ’＜Θとします。
このときは釣り合っているのですからＲｘ，Ｒｙ，ｆｘ、ｆｙが決まるはずです。でも限界の角度ではないのですから摩擦力も最大ではないはずです。このときは式が不足します。（ｉ）に戻ります。分からないのはここです。
２つの摩擦のうち片方が最大摩擦になっているとすると解くことができますがそういうことがいつも成り立っているということがあるとは思えません。片方（壁の方）だけが最大摩擦力になっているとしても角度は変えることができます。棒の置き方を変えても壁との摩擦は常に最大摩擦になっているというのはどういうことでしょう。これもまた分からないところです。

（iv）よく見る問題では床の摩擦しか考えていません。ｕ２＝０だとしています。
この場合は
Ｒｘ＝ｆｘ、Ｒｙ＝Ｍｇ，２Ｒｙ＝Ｍｇ＋２ｆｘｔａｎΘ
ですから
Ｒｘ＝ｆｘ＝Ｍｇ／（２ｔａｎΘ）
となります。この位置で釣り合っているためにはここで求めた摩擦力が静止最大摩擦力よりも小さいという条件が満たされていなくてはいけません。
ｆｘ＜ｕ１Ｒｙ
より
ｔａｎΘ＞１／２ｕ１
です。
限界の角度はｔａｎΘ＝１／２ｕ１で決まります。

（ｖ）ｕ２≠０でｆｙ＝ｕ２Ｒｘが成り立っているとします。
これがどういう状況かは分かりませんが解くことはできます。
ｆｘ＝Ｍｇ／（２（１＋ｕ２）ｔａｎΘ）
です。ｆｘ＜ｕ１Ｒｙですから
ｔａｎΘ＞（１＋ｕ１ｕ２）／２ｕ１（１＋ｕ２）
になります。この範囲で角度を変えることができます。
棒の置き方を変えても壁と間の摩擦は最大摩擦になっています。
「？！」です。