算術平均に対する標準偏差は、幾何平均に対する？

質問

度々お世話になります。よろしくお願いいたします。

さて現在、ある課題を10回繰り返し、それに要した時間について
３つほどのグループで比較するグラフを作成しようとしています。
（例えば、ＡＢＣと３つのグループで、それぞれに属する人が
　同じテストを10回行い、その所要時間を測定します）
図中の横軸にはグループの別を、縦軸には所用時間をプロットします。
このとき、所用時間は個人差が大きいので、各人の中央値を取って、
その幾何平均を示したいと思っています。

ここで、ひとつ困ったことが発生しました。
私は、算術平均を用いるのであればグループ内のばらつきを示すために
標準偏差を添えて図示しているのですが、今回は記述の通り幾何平均を
用いたため、何を添えれば良いのかを知りません。

自分で調べてみたところ「幾何標準偏差」なる用語を見つけたのですが
この正体もわからず、上述の用途に使えるものか判別できませんでした。

また、下記ＵＲＬの説明文中には、
「誤差は正負ともにつけるべきです。なぜかというと血中濃度の個体差は対数席分布すると言われているため、幾何平均を用いる人もいます。その場合対数プロットした際のSDは正負同じ長さです。算術平均で求めたSDは正負で長さが異なります。つまりSDの長さで、幾何平均か算術平均か図をみればわかるのです。」
というコメントがあります。
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Jupiter/2752/geobook.html

標準偏差を算術平均で求める場合と幾何平均で求める場合というのは、
私の質問と関係があるのでしょうか。
あるいは対数プロットする場合の話であって、関係ないのでしょうか。

すこし質問が長くなりましたので、まとめます。
まず
1. 幾何平均した際に示す「ばらつき」の指標は何が適当か
という点についてご存知であれば、ご教授いただければと思います。

また、
2.標準偏差を幾何平均で出す場合は、算術平均の場合と何が違うのか
ということにつきましても、ご教授いただければ大変有難いです。

些細な情報でも結構ですので、よろしくお願いいたします。

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

#2です。書き足りませんでしたね。すみません。

>この文中のsは、標準偏差（standard deviation）でよろしいでしょうか。
>また、mは平均（mean）、eは自然対数lnの底（2.7182818)
>でよろしいでしょうか。

はい、その通りです。
なお、e^m=Gm,e^s=s'とすると
e^(m+s)=e^m*e^s=s'Gm
e^(m-s)=e^m/e^s=Gm/s'
となります。

お礼

ご返事が半月も遅くなってしまいました。申し訳ございません。
ご回答、ありがとうございました。

また、
>e^(m+s)=e^m*e^s=s'Gm
>e^(m-s)=e^m/e^s=Gm/s'
>
追加のご教授、ありがとうございました。
大変勉強になりました。

今後、また質問させていただくことがあるかと存じますが、
その節にも何卒よろしくお願いいたします。

回答No.4

Ishiwara

＃１さんのコメントで、すべて十分だと思います。
計算尺ってご存知ですよね。大きい数になるほど目が詰まっているモノサシです。実は、片方の軸だけそうなっているグラフ用紙が市販されています（片対数方眼紙という）。それを使っデータをプロットしてみます。そのとき、ヒストグラムが大きくゆがんでいるようでしたら、幾何平均でもあまりお勧めできません。がまんできる程度のゆがみなら幾何平均を使ってください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
お礼を申し上げるのが遅くなり、申し訳ございません。

対数グラフで表したところ、やや歪んでいましたが、何とか許容
できるものと思われましたので、幾何平均を使うことにいたしました。
システムの都合上、ポイントに反映させることができませんが、
大変感謝しております。
ご教授、ありがとうございました。

回答No.2

age_momo

正規分布についてはいいですかね。
度数分布をとれば平均値を中心にして左右対称に釣鐘状になる分布です。
対数正規分布は各値の対数をとって度数分布をとれば正規分布になる
分布のことです。生データは左右対称ではなく、片方に広く伸びていきます。

データをとって幾何平均を取ったということは普通に算術平均を
とったら数は少ないけど極端に大きなデータに足を引っ張られて
最頻度データあたりに算術平均が来なかったのでしょうかね。
で、幾何平均を取ったということでしょうか。
では、幾何平均はどういう値か考えて見ましょう。

Gm=(a_1*a_2*・・・・*a_n)^(1/n)
両辺の対数をとれば
lnGm=ln(a_1*a_2*・・・・*a_n)^(1/n)=1/n*ln(a_1*a_2*・・・・*a_n)
=1/n*(lna_1+lna_2+・・・・+lna_n)　　　　　　　　　　　　　　ln:自然対数

要は各データの対数をとって算術平均したものにほかなりません。
幾何平均をとったということは『何となく』対数正規分布に従っていると
仮定されたのでしょう。
標準偏差もこの対数をとった値で求めればいいです。
ただし、得られたsに対して元のデータに戻してバラツキを表すときは
e^(m+s),e^(m-s)を計算してください。計算して見れば分かりますが、
e^mつまりGmに対して上下は等しい大きさにはなりません。

リンクされているURLもこのことを言っています。
これらはあくまでもとったデータが対数正規分布に従っていると思われる
場合だけですが。。。

お礼

ご回答ありがとうございます。
非常に明快にご教授いただきましたので、
対数の算術平均が幾何平均になるという原理がわかりました。

また、標準偏差を幾何平均で取ると、上下が等しくならない
ということにについても、解決の端緒を得ることができました。

しかし、このような質問をさせていただいた事にも現れておりますが
私は数学的な基礎が疎かとなっておりますので、
略記号の理解に自信がありません。
そこで、いくつかの記号につきまして確認をさせていただけますよう
お願いいたします。

さて、ご回答の文中には、
>ただし、得られたsに対して元のデータに戻してバラツキを表すときは
>e^(m+s),e^(m-s)を計算してください。計算して見れば分かりますが、
>
という部分がございますが、
この文中のsは、標準偏差（standard deviation）でよろしいでしょうか。
また、mは平均（mean）、eは自然対数lnの底（2.7182818)
でよろしいでしょうか。

ご多用中、瑣末なことをお伺いして恐縮ですが、
何卒ご回答いただけますよう、お願い申し上げます。

回答No.1

noname#44733

よくは知らないですが、私が思うには、対数をとればその算術平均によって幾何平均の意義をもたせることができるので、対数をとって普通に処理するのがいいと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
対数の算術平均が幾何平均になるということが解っていませんでした。
元データを対数に変換して、その標準偏差を取るのですね。

勉強になりました。ありがとうございました。