確率が・・・・

質問

確率の問題って難しくありませんか？
いつも問題を解いていても
確率のところだけ間違えるんですけど・・・
もっと簡単がやり方とかありませんか？

たとえば・・・
（問）ｎを２以上の自然数とする。ｎ枚のカードがあり、カードには１からｎまでの数字が１枚ずつ書かれている。この中から２枚のカードを同時に取り出し、取り出したカードに書かれた数字のうち大きい方をＸとする。
（1）Ｘ＝Ｋ（１≦Ｋ≦ｎ）となる確率Ｐ（Ｘ＝Ｋ）をＫの式で表せ。

この問題なんか手もつけることも出来なかったんだけど・・
できますか？　　教えて～

回答No.4

oshiete_goo

既に示された問題に関しては十分な解説があるのですが, 質問者さんの本当の問題点はこれに限らず, 確率(や, おそらく個数の処理も)の全般に関することなのでしょうから，あえて参考意見としての補足をします．

この分野で特に重要なポイントは，『何を同じと見て，何を区別するか』という点なのではないでしょうか[厄介なことに，そのルール(前提)が問題設定によっていろいろ違ったりして，その場でのルールに応じて柔軟な発想で処理する必要があることが難しいと思います]．

あるいは確率の分野に特に限れば，何が「同様に確からし」くて，何が「同様に確からしくないか」という，統計的な重み(統計的重率)の扱いが根本的に重要です．

抽象論では分かりにくいでしょうから，例を挙げると，
例）2個のさいころを振るとき，「１と１の目が出る」確率と「1と３の目が出る確率」は同じか？・・・勿論違うのですが（確率で言えば，後者は前者の2倍），場合の数を数えていて，２個のサイコロの目の組合せを数えているときは，どちらも1種類で，区別はない(種類だけ考えていて，重みは考えていない)わけです．

このように，場合の数では区別しなかったものを，確率を考えるときは区別しないといけなかったりすることが，不慣れな人の混乱の大きな原因になっていたりします．
今の例だと，確率を扱うときは，2個のサイコロは区別して，それぞれ６通りの目なので，６×６＝３６通りの目の出方があるとして，この３６通りは『同様に確からしい』として扱う必要があります．
そして，どの目の出方も１／３６の確率であり，「１と１の目が出る」確率は（１，１）のみなので１／３６，「1と３の目が出る確率」は（１，３）と（３，１）の出方があるので２／３６＝１／１８となるわけです．

勿論，「そんなの知ってるよ」とおっしゃる方は多いでしょうが，次の問いはどうでしょう．

（問）２個のサイコロを振って，小さくない方の目をＸとする（大きい方と言わないのは，目が同じ時は大きい方は存在せず，どちらでも良いからです）．
このとき，Ｘ＝Ｋ（１≦Ｋ≦６）となる確率Ｐ（Ｘ＝Ｋ）をＫの式で表せ。

これは質問者さんの（問）に似てますね．でも実はさっきと少し（実は大きな）違いがあって，
＃１さんの解法は最初は少し取っ付きにくいけれども，実はこの場合でもそのまま使えます．
2個ともK以下の目になる確率は(k/6)^2　より，
P(X=K)=(k/6)^2 － {(k-1)/6}^2 =(2K-1)/36・・・（正解）

次の解法はどうでしょう．
K＝１のとき，もう１個は１で１通り
K＝２のとき，もう１個は１，２で２通り
・・・
K＝６のとき，もう１個は１，２，３，４，５，６で６通り
そして
(誤答その１)　X=Kの確率はK/36
(誤答その２)サイコロは２個あるので，誤答１の２倍で，２K／３６＝K／１８
という間違いが多いのです．
誤答１はかなり重症です．でも笑っていられなくて，誤答２は実はかなりよくあります．

原因は既におわかりでしょう，例えばK＝３のときでも，（３と３）と（３と２）の重みは違っていて，この方針では，２個の目が同じ時と，そうでない時は区別して考えないといけません．３６通りの目の出方は同様に確からしいとして，
I)２個の目が同じ時, 2個ともKなので１通り
II)２個の目が違う時, もう１個の目は1,2,・・・，K－１なのでK－１通りだが，入れ替えも考えて，２(K-1)通り
I)とII）は背反(同時に起こらない，つまり重なりがない)ので，求める場合は両者の和で，１＋２(K-1)＝２K－１　通り．
よって求める確率は(2K-1)/36・・・（正解）

さっきの問題では，２つは必ず違ったので，小さくない方(実は大きい方)がKなら，もう１つは１，２，３，・・・，K-1通りで，ｎ個から異なる２個をとる場合の数(分母)はn(n-1)/2 より　２(K－１)／ｎ(ｎ－１) でよかったわけです．

このような違いに十分注意しつつ，ある程度演習して経験を積んでカンを養うことだと思います．この分野は原理・原則だけでは必ずしもうまくいかなくて，問題ごとに特徴を捉えて考えていく必要性が高いので．

では，健闘を祈ります．