看護学校の過去問

質問

看護学校の入試の過去問の件で質問です。

「
三角形ABCにおいて、sin^2 A+sin^2 B=1,sin^2 B+sin^2 C=1 である。
（１）sin A=sin B であることを証明せよ。
（２）∠Bの大きさを求めよ。
」

という問題です。
（１）はすんなり証明できたのですが、（２）が解けません。条件が不足しているのか？等と考えましたが、図もありませんし、Bを求めることができません…。

解ける方がいらしたら、お教え願えたらなと思います。

回答No.4

info22

(1)
sin^2 A+sin^2 B=1…(A)
sin^2 B+sin^2 C=1…(B)

(A)-(C)から
sin^2 A -sin^2 C =(sin A -sin C)(sin A +sin C)=0
三角形の角は0°より大きく180°より小さいから
sin A ≠-sin C　
したがって
sin A +sin C≠0
∴ sin A= sin C
0＜A+C＜180°から
∴ A=C＜90°…(C)
B=180°-(A+C)より
sin B=sin(A+C)=sin(2A)=2sin A *cos A…(D)
(A)に代入
sin^2 A +4 sin^2 A *(1-sin^2 A)=1
4sin^4 A -5sin^2 A)+1=0
(2sin A -1)(sin A -1)(2sin A +1)(sin A +1)=0
0＜A＜180°で sin A＞0だから
sin A=1/2　または sin A=1
(C)から, sin A≠1
sin A=1/2
∴A=C=30°
B=180°-(A+C)=120°⇒(2)の答
∴ sin B=√3/2
したがって
sin A≠sin B

＞（１）sin A=sin B であることを証明せよ。
＞（１）はすんなり証明できたのですが、
成り立たないものがどうして証明できたのでしょうか？
(1)の　sin A= sin B
は成立しませんね。問題ミスでしょうね。

sin A= sin Bが成立しない証明。

sin^2 A+sin^2 B=1…(A)
sin^2 B+sin^2 C=1…(B)
仮に　sin A= sin B …(E)とすると
(E)を(A)に代入
2sin^2 A=1
sin^2 A=1/2
sin A=1/√2
A=45°または A=135°
sin B=1/√2　…(F)
0°<A+B＜180°から
∴　A=B=45°…(G)
(F)を（B)に代入
1/2 +sin^2 C=1
sin^2 C=1/2
sin C=1/√2 …(H)
（G)から
C=180°-(A+B)=90°
sin C=0…(I)
（H)と(I)は矛盾する。
したがって
（E)つまり(1)の関係は成立しない。