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ベクトルの問題です。教えて下さい!
問.一辺の長さ1の立方体ABCD-EFGHについて、ECベクトル・DFベクトル(内積です)を求めよ! という問題です。 四角形EFDCが長方形(EF=1、FC=√2)になり、 EFとDF(ベクトルは略します)はその対角線になるので解けるかなと思ったのですが、うまくいきませんでした。 FDの始点DのところにEFの始点Eをもっていって(このベクトルをDIとします。)OKだと思ったのですが、コサインFDIの値が求められませんでした。 2FDC=FDIで、コサインFDC=1/√3なのでできそう!と思ったのですが・・・。 ちなみにこの問題の解答は式を変形して代数的に解いていました。 図形的に考えても解けると思うのですが、実際自分の力では解けませんでした(笑) 考え方は正しいと思うのですが・・・、やはりどこか違うのでしょうか?? それとも途中まではあっているのかな?? う~ん、よくわかりません! 数学がお得意の方、アドバイスよろしくお願いします!!
- stripe
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Hを原点(0,0,0)に、E(1,0,0)、G(0,1,0)、そしてD(0,0,1)とすると、 H(0,0,0) E(1,0,0) F(1,1,0) G(0,1,0) D(0,0,1) A(1,0,1) B(1,1,1) C(0,1,1) となり、 EC=C-E=(0,1,1)-(1,0,0)=(-1,1,1) DF=F-D=(1,1,0)-(0,0,1)=(1,1,-1) EC・DF=(-1,1,1)・(1,1,-1)=-1+1-1=-1 ----------------------- 他方、三角関数の二倍角の公式を使わない場合は: EC=EF+FC とヴェクトルを合成形で考えると、内積は配分されるので: 角度CEFをαとすると: EC・DF=(EF+FC)・DF=EF・DF+FC・DF EF・DF=+(1 * √3 * cosα) =1 なぜなら cosα=1/√3 FC・DF=-(√2 * √3 * sinα) =-2 なぜなら sinα=√2/√3 EC・DF=1-2=-1
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- aster
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>>FC・DF=-(√2 * √3 * sinα) =-2 なぜなら sinα=√2/√3 >でどうやるとこうなるのでしょうか?? >サインとかがどうやるとでてくるのかちょっとわかりません。 一辺が長さ1の正立方体の透視図を描いてみると分かりますが、ECとFDは長さが同じで、丁度、立方体の左右を逆にすると同じ線になるということが分かります。 長方形EFCDを考えてみると、EFの長さは1、FCの長さは√2です。 上の式で、FCとDFはヴェクトルです。DFをFDにすると、ヴェクトルとしては、反対向きになり、FC・DFとFC・FDは、マイナスになること以外、内積の絶対値は同じです。 角度CEFがαでした。角度DFEもαなのです。それは線ECとFDが、立方体のなかで、左右を逆に考えると、同じ線だからです。(あるいは,長方形EFCDでは、左右の対角線になります)。CEF=DFE=α。 FCとFDの内積を考えると、「FCの長さの絶対値*FDの長さの絶対値*cos(角度DFC)」となります。 ところで、角度DFE+角度DFC=90度なのです。これは、EFCDの長方形を考えると出てきます。角度EFC=90度=角度DFE+角度DFCだからです。 従って、角度DFC=90度-角度DFEとなります。cos(角度DFC)=cos(90度-角度DFE)=sin(角度DFE)=sin(α)です。 そこで、内積FC・FD=√2*√3*sin(α)となり、実際に求める内積は、この値にマイナスを付けたものであるので: >>FC・DF=-(√2 * √3 * sinα) =-2 なぜなら sinα=√2/√3 こういう式になるのです。sin(α)=√2/√3だからです。 注)角度αが、0度=<α=<90度なら、sin(90-α)=cos(α)、またcos(90-α)=sin(α)です。これはsinとcosの意味から、明らかでしょう。
お礼
どうもありがとうございます。 納得できました。 自分でできるように努力します! 本当にありがとうございました!
- Le-Livre
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補足の補足です.... というより、蛇足? そんでも、一応… 2倍角の公式というのは、 三角関数に登場する「加法定理」の応用として出てきます。 どのように、2倍角の公式を導くかというと… 加法定理(cosの場合) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ なんです。 α=β とすると cos2α=cosαcosα-sinαsinα =cos^2α-sin^2α ―――(1) ですね。 また、三角関数相互関係より sin^2θ+cos^2θ=1 なんです。これを使って(1)を変形すると cos^2α-sin^2α=(sin^2α+cos^2α)-2sin^2α =1-2sin^2α 同様に変形して 1-2sin^2α=1-(2sin^2α+2cos^2α)+2cos^2α =1-2+2cos^2α =2cos^2α-1 これで、2倍角の公式(cosの場合)が導き出せました! これは三角関数ですから、数学(2)の範囲です~。
お礼
どうもありがとうございます。 それはたぶん二学期すぐ習います! がんまりますね、 どうもありがとうございました!!
- tak2006
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別解です。 3次元の座標O-XYZを考えると、 → → DF=(1,-1,-1), EC=(1,1,1) となります(各ベクトルの始点を原点Oに持っていく)。 内積は各座標同士の積和でも求められるので、 → → DF・EC=1×1+(-1)×1+(-1)×1=-1 となります。 この計算方法は習いましたでしょうか?
お礼
どうもありがとうございます! 成分で考える事をずーっと忘れていました。 この計算方法はもう習いました! とってもわかりやすくて良かったです。 他の問題でも成分で考えると楽そうですね。 どうもありがとうございました!!
- tak2006
- ベストアンサー率23% (17/71)
No.1の者です。間違えていました。すいません。 -1ですね。
お礼
またまたありがとうございます。 計算過程はとっても参考になりました。 実はcos(2θ)=cos^2(θ)-sin^2(θ)は cos(2θ)=2cos^2(θ)-1(2倍角の公式より) という公式は習ってないのです。 違うとき方はないでしょうか?? よろしければよろしくお願いします!!
- Le-Livre
- ベストアンサー率41% (44/105)
補足.... cos(2θ)=cos^2(θ)-sin^2(θ)は cos(2θ)=2cos^2(θ)-1(2倍角の公式より) の方が計算楽ですよ。
お礼
どうもありがとうございます! 実は cos(2θ)=cos^2(θ)-sin^2(θ)は cos(2θ)=2cos^2(θ)-1(2倍角の公式より) この公式はまだならってないのです(泣) この事を知らないと解けないのでしょうか?? 二倍角というのは三角比でしょうか、二学期にたぶん習うと思うのですが。 違うとき方があったら教えて下さい! お願いします!!
- tak2006
- ベストアンサー率23% (17/71)
∠CEFをθと置きます。 求める内積は√3×√3×cos(2θ)となります。 ここで、cos(2θ)=cos^2(θ)-sin^2(θ)より、 cos(2θ)=(1/√3)^2-(√2/√3)^2 =1/3-2/3 =-1/3 となるので、求める内積は √3×√3×(-1/3)=1 となります。
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