計算問題と二重根号！！

質問

今回は三問分からないのです。詳しい説明があると嬉しいので、よろしくお願いします！！

まずは一問
４a~2-b~2分の２a~2 - b-２a分のa-b
です。途中計算が問題なんですけど・・。

後二問は、二重根号です。
√x+２√x-１ と　√x-√x~2-１
の二つです。公式を使うにも当てはまらないですし・・。
お願いします。

回答No.5

aster · ベストアンサー

＞４a~2-b~2分の２a~2 - b-２a分のa-b

(４a~2-b~2分の２a~2) - (b-２a分のa-b)　と考えます。

この問題は，分母を揃えて引き算します。

4a^2-b^2＝(2a+b)(2a-b)　　因数分解します。

(b-2a)＝-(2a-b) ですから、第二の項には、-(2a+b) をかけるとよいことになります。

すると、
分母＝(2a+b)(2a-b)
分子＝2a^2-[-(2a+b)(a-b)]＝2a^2+2a^2-ab-b^2

答え：　(4a^2-ab-b^2)/(2a+b)(2a-b)
または：　(4a^2-ab-b^2)/(4a^2-b^2)＝1－ab/(4a^2-b^2)

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＞√x+２√x-１

二重根号の場合、一方を何とか、二乗式にして、ルートの外に出す工夫をします。

√(x-1)＝a と置きます。
a^2＝x-1　となります。ここから、x＝a^2+1

このｘを元の式に代入すると、
√(a^2+1+2a)　ルートのなかを因数文化すると
√(a+1)^2＝(a+1)　……－(a+1) も答えになります。

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＞√x-√x~2-１

これは少し面倒で、まず、x^2-1 を因数分解します→ x^2-1＝(x+1)(x-1)

(x+1)＝a, (x-1)＝b　と置きます。すると、
√(x^2-1)＝√(x+1)(x-1)＝√(x+1)√(x-1)＝ab

a^2＝x+1 から、x＝a^2-1
b^2＝x-1 から、x＝b^2+1

これをどう使うかというと、ａで表現されるｘとｂで表現されるｘは、足すと、１が消えるのに注目します。そこで、

x＝(1/2)(a^2-1)+(1/2)(b^2+1)＝(1/2)(a^2+b^2)

これを、元の式に代入すると、
答え：　√(1/2)*[a^2+b^2+2ab]
＝√(1/2)(a+b)^2＝(√1/2)(a+b)　……－(√1/2)(a+b) も答えになります。

一般的な解き方は、二重根号は、内部の式を二乗の形にして、根号の外に出られるように工夫することです。

こういう問題の場合、根号の外に出すことができないようなケースは、解けませんから、根号のなかが、適当に別の変数で置きかえると、二乗の形になるように、問題が作られています。