• 締切済み

連立微分方程式　行列

この問題がどうしても分からないので数学のできる方お願いします。 Ｑ．次の連立微分方程式を解け 　　x'(t)= x(t) -y(t)+4z(t) 　　y'(t)=3x(t)+2y(t) -z(t) 　　z'(t)=2x(t) +y(t) -(t) この問題の前の問題で A=(1 -1 4) (3 2 -1) (2 1 -1)←行列 の固有値、固有ベクトル、Aの対角化、自然数ｎに対するA^n を求めたのですがここで使用するのでしょうか？

みんなの回答

  • guuman
  • ベストアンサー率30% (100/331)
回答No.3

コンベンションを尊重して修正 P^-1・A・P が対角化できたのなら AとPを補足に書け

  • guuman
  • ベストアンサー率30% (100/331)
回答No.2

P・A・P^-1 が対角化できたのなら AとPを補足に書け

  • kesexyoki
  • ベストアンサー率42% (41/96)
回答No.1

X=t(x y z)とおくとX'=AXとなります。 A=zΛz^-1（-1乗）と対角化できたとき、exp(tA)=zΛ^(t)z^(-1) 因みに、exp(tA)をtで微分するとAexp(tA)だから、丁度方程式の解に適した形ですよね！ よって、X＝Cexp(tA)（Cは積分定数）として解が書けます。 まあ、Cは初期値だったり・・・

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 連立微分方程式の解き方について

    Aの連立微分方程式 {y'₁(x)=4y₁(x)+2y₂(x) {y'₂(x)=2y₁(x)+3y₂(x) 初期条件 y₁(0) = 2, y₂(0) = 1 ↑ Aの連立微分方程式からまず行列を書くので |4 2| |2 3| ↑ と書きます。しかしここから固有値を求め、さらに固有値に対する固有ベクトル計算するとどうしても計算できなく、計算サイト(WolframAlpha)を使っても√を含む値が出てしまい、計算できなくなってしまいます。 問題を記載するにあたってタイピングミス等はありません。 誰か、わかる人教えてもらえないでしょうか？ マジで解けなくてほんとに困っています。

  • 連立一次方程式の解き方がわかりません

    行列の対角化で固有値を求めた後、固有ベクトルを求めるために連立方程式を解きますが、 例えば x + y = 0 3x + 3y = 0 これはどうやって解けばいいのですか？代入すると０になりますし、 習った覚えがありません。k(1 -1)になるのはなんとなくわかりますが・・・ 宜しくお願い致します。

  • 連立微分方程式

    x=x(t), y=y(t)をtの関数として、次の連立微分方程式を考える。 　　 dx/dt=2x+y dy/dt=x+2y (1)z=x+y, w=x-yとおいて、z,wについての微分方程式に書き換えなさい。 z,wを無視して解くことはできるのですが z=x+y, w=x-yに置き換えるということがよくわかりません。 初歩的な質問ですがよろしくお願いしますm(__)m

  • 連立微分方程式

    x=x(t), y=y(t)をtの関数として、次の連立微分方程式を考える。 　　 dx/dt=2x+y dy/dt=x+2y (1)z=x+y, w=x-yとおいて、z,wについての微分方程式に書き換えなさい。 z+w=2x, z-w=2yつまり、x=(z+w)/2, y=(z-w)/2 これを、x,yにするだけでよいのでしょうか？

  • 行列の連立微分方程式

    Aという行列に対して、dy/dt=Ay　y(0)=（c0、c1、c2）^T【←転置】という連立微分方程式を解け。 ただしAは α　０　０ ０　β　１ ０　０　β という3×3の行列であるとする。 という問題なのですが、おそらくy=exp（ｔA）y（0）という形にして計算するのではないかと思うのですが、ここのexp（ｔA）を求める過程について質問です。 この問題を解く前に、 e^（αt）　0　0 0　e^（βt）　te^（βt） 0　0　e^（βt） という3×3行列Xについて、 X＾（-1）dX/dt＝A という計算をさせられているので、おそらくこの式を利用して解くのだと思いますが、どのように利用したらいいのか見当がつきません。 exp（tA）＝X　になるのではないかという予想はあるのですが、どうしたらそうなるのか、過程等わかる方がいましたら、ご教授お願いします。

  • 連立線形微分方程式の解き方

    上のカッコは上下つながっているものと考えて下さい。またｙはｘの関数とします。 以下のような微分方程式があるとします。 (y1') = (a b ) (y1) (y2' )= (c d )( y2) この係数行列Aの固有方程式を解き、固有値が異なる２つの実数解をもち、Aが対角化できるときの一般解の求め方は分かりました。 ですが、固有値が重解のとき、また異なる共役複素数が解となるときの解き方がわかりません。 解き方を教えて下さい。 ただ、指数行列を使うのはなしで、固有値が２つの実数解となるときと同じように、一般解の一般化（意味わかりますか・・？）もお願いします。

  • 連立常微分方程式

    x(t)をn次元ベクトル、A(t)をn次正方行列として、 dx/dt=A(t)x (1) なる連立微分方程式を考えます。 関数の行列V(t)の各列ベクトルが式(1)の解で、V(t)が正則であるとき、 V(t)を基本行列と呼びます。 V1(t),V2(t)が式（１）の基本行列のとき、定数の正則行列について V1(t)・T=V2(t) (2) が成り立つことを証明するには、 d(V1^{-1}・V2)/dt=0 (3) を示せばV1^{-1}・V2=T(定数行列)となって、(2)を証明できるのですが、 どうすれば(3)が示せるのかわかりません。

  • 三元連立微分方程式の解き方教えてください。

    dx/dt=(A-C)/A*y*z dy/dt=((C-A)x-L)/A*z dz/dt=L/C*y この連立方程式なのですが，x,y,z以外は全て定数です。 まずは，ひとつの変数のみの方程式を作ろうと思いzだけの式を作りました。 z*z'''-z''*z'+((A-C)/A)^2*z^3*z'=0 という式になりました（'は微分回数です。） そして更に左辺は(z*z'')のtで微分した形に近いんじゃないかと思い解いていったのですが・・・・ここらへんからもうさっぱりでどうすればよいのかわからなくなってしまいました。もしよろしければこういう三元の連立で変数がyzみたいに積の項がある方程式のよい解き方を教えてください。パソコンで計算してみたらx,yは円の運動をしました。

  • 行列式　クラメール　連立方程式の行列

    行列式について教えてください。かなり切羽詰まっています (1)連立方程式をクラメールを用いて計算 x　+　y　+　z　=0 2x　-y　+　5z　=3 x　+　5y　-4z　=-3 (2)行列A、Bに対する計算 A＝「3　-4　　B=「-2　5 　　 -2　5　　　　4　-3」の時 I）ABA-BAAを求める II) x　+　3y　=2A 　　2x　-　4y　=B となる行列x yを求める 特にわからないのが(1)のほうです 自分勝手ですいませんがどなたか教えてください。

  • 連立微分方程式

    点P(x,y)は連立微分方程式 dx/dt=y dy/dt=-x を満たすものとする。t=0で原点以外の点から出発した点P(x,y)は、tが増加するにつれてどのようにふるまうか述べよ。図を用いてもよい。 この問題の解き方がよく分かりません。 連立微分方程式について、色々な文献を見てみたのですが、どうもいまいちです。 上の連立方程式を2つともdt=のかたちにして、dx/y=dy/-xという式にし、変数を分離して両辺を積分して・・・すると、x^2+y^2=Cという式に なりました。 円の方程式っぽいです。 でも、tは消えてしまい・・・ よく分からなくなってきました。 そもそもここまでの解き方も自分は間違っているのでしょうか？？ ご意見やヒント、解答ヨロシクお願いしますm(_ _)m

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する