ラドンニコディムの定理の証明とは？
- ラドンニコディムの定理は測度論における重要な結果であり、ボレル集合体上で定義された2つの測度の関係を示すものです。
- 定理の証明には、ルベーグ積分や絶対連続性の概念が用いられます。
- 質問者はボレル集合体B上で定義された測度m+νを考えており、その上でL^2空間L^2(m+ν)を考えています。不等式の根拠について質問しています。
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ラドンニコディムの定理の証明を教えてください。
はじめまして。 ラドンニコディムの定理の証明がわかりません。以下、ルベーグ積分30講の204ページ抜粋です。 ボレル集合体B上で定義された測度m+νを考えます。この上でL^2空間L^2(m+ν)を定義します。νはmに関して絶対連続とします。 f∈L^2(m+ν)とします。このとき、 ∫|f|dν≦∫|f|d(m+ν)=∫1*|f|d(m+ν)… となるらしいのですが、この最初の不等式、 ∫|f|dν≦∫|f|d(m+ν) の意味がわかりません。 この不等式は何を根拠にして出てきたのでしょうか？？ 理解が不足しているため、質問がきちんと成立していないかもしれませんが、どなたか回答お願いします。 必要であれば、随時補足いたしますので、よろしくお願いいたします。
- kumasan1982
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絶対連続だろうがなかろうが、ただ非負測度であれば成り立つ自明な結果です。 νとm+νという二つの測度を考えれば、任意のボレル集合Aに対して、 ν(A)≦m(A)+ν(A) です。（ただしmが符号付速度の場合は破綻してしまいます。）なぜならm(A)≧0だから。したがって|f|が非負の階段関数(単関数)の場合は自明に、 ∫|f|dν≦∫|f|d(m+ν) です。一般のfに対しては、階段関数で近似すればよい。 ちなみにもっとシンプルに、一般に測度の和は再び測度になって、その積分は次のように表されます。 ∫fd(m+ν)=∫fdm+∫fdν これを使えば非常に自明な結果ですよね。
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非常に明快な回答をいただき、ありがとうございました。 お礼が遅れたことをお詫びいたします。