ＤＦＴの周期性の証明

質問

私はf(n)の周期性の証明をしようとしました。私が本を参考にして使った定義式をそのまま書きます。

[定義1]
離散フーリエ変換は,f(n)(n=0,1,・・・,N-1)をサンプルデータとしたときそのDFTは
F(k)=Σ［N-1＜n＜0］f(n)exp(-j*2πnk/N)
と表すことができる。（k=0,1,・・・,N-1)

[定義2]
離散フーリエ逆変換は
f(m)=1/NΣ［N-1＜k＜0］F(k)exp(j*2πmk/N)
と定義される。ここでのmは(m=0,1,・・・,N-1)である。

私は定義式２を使って、mをn+rNと置き換えて（r:任意の整数、N:サンプル数）
f(n+rN)=Σ［N-1＜k＜0］F(k)exp(j*2π(n+rN)k/N)
=f(n)
という証明をしました。

ここで分からないことがあります。
IDFTの定義式中のf(m)のmと証明で使ったn+rNは対応しています。
定義２では、m=0,1,・・・,N-1となっています。
なので、n+rN=0,1,・・・,N-1ということになります。
しかし、定義１では、n=0,1,・・・・,N-1としています。
よって、定義に矛盾してしまいます。
式自体は間違っていないと思うので、間違っていると考えられるのは定義だと思います。
どのように定義を変えたらいいのかアドバイスください。

回答No.6

kts2371148 · ベストアンサー

いくつかレスがついていたので、きっとそのうち解決するだろうと
思いながら見ていたら、なかなか解決しないようですね。

guumanさんは、離散フーリエ変換に対して逆離散フーリエ変換を施すと
元のデータが得られ、かつそのデータに周期性がある、
ということを証明されています。
stomachmanさんは、離散フーリエ変換に対して逆離散フーリエ変換を施すと
元のデータが得られることは既知の事実として、
三角関数に変換した上で周期性を証明しています。
utudes2007さんが＃１の補足でされた証明は、
わざわざ三角関数に置き換えずに指数関数のままで
周期性を証明しています。
私は、どの方法でもいいと思います。

でも、utudes2007さんの疑問は、そこではないわけですね。
疑問が解けない最大の原因は、離散フーリエ変換の意味を、
頭の中でイメージできていないことだと思います。

似た事例を別サイトで回答しましたので、その例で説明したいと思います。
f(t) = -t/T + 1/2 をフーリエ級数展開するとどうなるか、という例です。
（たぶん離散フーリエ変換よりこちらのほうが
直感的に理解しやすいと思いますので）
フーリエ級数展開を以下のように定義します。

f(t) は周期 T の周期関数であり、
n>0 において、a[n] = (2/T) ∫[0～T] f(t) cos(2πnt/T) dt
n>0 において、b[n] = (2/T) ∫[0～T] f(t) sin(2πnt/T) dt
n=0 において、a[n] = a[0] = (1/T) ∫[0～T] f(t) dt
とすると、f(t) のフーリエ級数展開は、
f(t) = a[0] + Σ[n=1～∞] a[n] cos(2πnt/T) + Σ[n=1～∞] b[n] sin(2πnt/T)

実際にフーリエ係数を求めると、
n>0 において、a[n] = 0
n>0 において、b[n] = 1/(πn)
n=0 において、a[n] = 0
となりますので、フーリエ級数展開は、
f(t) = Σ[n=1～∞] 1/(πn) sin(2πnt/T)
となります。
（utudes2007さんなら自力で計算できると思いますが、
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1311841808
には導出過程も書いてあります。）

さて、f1(t) = -t/T + 1/2 のグラフと、
f2(t) = Σ[n=1～∞] 1/(πn) sin(2πnt/T) のグラフを描いてみます。
（両方とも定義域は －∞～＋∞ とします）
すると、f1(t) のグラフはただの直線ですが、
f2(t) のグラフは、f1(t) のグラフのうちの t=0～T の範囲を、
周期 T で前後に繰り返した波形になります。

２つのグラフの違いの原因は、フーリエ級数展開の定義で、
「f(t) は周期 T の周期関数である」とされているところにあります。
フーリエ係数を求めるときに 0 から T の範囲で積分していますので、
上記のフーリエ級数展開は、

f(t) = -t/T + 1/2（定義域は －∞～＋∞）

のフーリエ級数展開ではなく、

f(t) = -t/T + 1/2（定義域は 0 ～ T）
ただし、0 ～ T の範囲の外では、f(t + nT) = f(t) （n は整数）により定義する

のフーリエ級数展開になります。

実は、離散フーリエ変換でも、f(n) は周期関数として定義されています。
そのことは Wikipedia にもこっそり書かれています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B
の中の、「畳み込み定理と相互相関定理」のところに、
「ここで y は 次のように循環するとする： y(-j) = y(n-j)」とあります。

そして、離散フーリエ変換では、F(k) も周期関数になります。
これは、例えばサンプリング周波数を 1kHz としたとき、
sin 2πft と sin 2π(f+1000)t をサンプリングすると、
同じ波形にしか見えない、ということを表しています。

お礼

f(n)について周期関数であると定義できるんですね。
おっしゃるように離散フーリエ変換について正しくイメージできてませんでした。
少し離散フーリエ変換について分かってきた気がします。
とても分かりやすい説明ありがとうございました。

回答No.5

stomachman

θ=nk/N, h=rkとおけば
exp(j*2π(n+rN)k/N) = exp(2πj (θ+h))

そして、（DFTをやる方なら当然ご存知の筈だけれども）
exp(2πjθ) = cos(2πθ) + j sin(2πθ)
ですから、hが整数のとき
exp(2πj (θ+h)) = exp(2πjθ)
です。

だから、
f(n+rN)
=Σ［N-1≧k≧0］F(k)exp(j*2π(n+rN)k/N)
= Σ［N-1≧k≧0］F(k)exp(j*2πnk/N)
= f(n)

お礼

とても分かりやすいです、ありがとうございました。

回答No.4

guuman

No3は間違っている直して補足に書け
仕事は丁寧にしなければならない

お礼

力不足で分からないことばかりだったのですが、ありがとうございました。

回答No.3

guuman

No2補足証明は間違っている直して再度補足に書け

補足

Nを自然数とし整数nについてF(n)を複素数とし整数nについてF(n+N)=F(n)とし整数ｋについて
f(k):=Σ[0≦n<N]・F(n)・exp(j・2・π・n・k/N)/N
とする.
整数nについて
F(n)=Σ[0≦k<N]・f(k)・exp(-j・2・π・n・k/N)
である。

[証明]
Σ[0≦k<N]・f(k)・exp(-j・2・π・n・k/N)
=Σ[0≦k<N]・Σ[0≦m<N]・F(m)・exp(j・2・π・m・k/N)/N・exp(-j・2・π・n・k/N)
=Σ[0≦k<N]・Σ[0≦m<N]・F(m)・exp(j・2・π・(m-n)・k/N)/N

n=mのとき
Σ[0≦k<N]・exp(j・2・π・(m-n)・k/N)=N
(m-n))/Nが非整数のとき
Σ[0≦k<N]・exp(j・2・π・(m-n))・k/N)
=(1-exp(j・2・π・(m-n))・N/N))/(1-exp(j・2・π・(m-n))/N))
=(1-1)/(1-exp(j・2・π・(m-n))/N))
=0
だから(等比級数の和の公式を利用)

よって
=Σ[0≦m<N]・F(m)
=F(n)

回答No.2

guuman

[定理1]
Nを自然数とし整数nについてf(n)を複素数とし整数nについてf(n+N)=f(n)とし整数ｋについて
F(k):=Σ[0≦n<N]・f(n)・exp(-j・2・π・n・k/N)
とする
このとき整数nについて
f(n)=Σ[0≦k<N]・F(k)・exp(j・2・π・n・k/N)/N
である。

証明:
Σ[0≦k<N]・F(k)・exp(j・2・π・n・k/N)/N
=Σ[0≦k<N]・Σ[0≦m<N]・f(m)・exp(-j・2・π・m・k/N)・exp(j・2・π・n・k/N)/N
=Σ[0≦k<N]・Σ[0≦m<N]・f(m)・exp(j・2・π・(n-m)・k/N)/N
=Σ[0≦m<N]・f(m)/N・Σ[0≦k<N]・exp(j・2・π・(n-m)・k/N)
=f(n)

なぜならば
n=mのとき
Σ[0≦k<N]・exp(j・2・π・(n-m)・k/N)=N
(n-m)/Nが非整数のとき
Σ[0≦k<N]・exp(j・2・π・(n-m)・k/N)
=(1-exp(j・2・π・(n-m)・N/N))/(1-exp(j・2・π・(n-m)/N))
=(1-1)/(1-exp(j・2・π・(n-m)/N))
=0
だから(等比級数の和の公式を利用)

定理2の証明を同様にして補足に書け

補足

[定理2]
Nを自然数とし整数nについてF(n)を複素数とし整数nについてF(n+N)=F(n)とし整数ｋについて
f(k):=Σ[0≦n<N]・F(n)・exp(j・2・π・n・k/N)/N
とする
このとき整数nについて
F(n)=Σ[0≦k<N]・f(k)・exp(-j・2・π・n・k/N)
である。

[証明]
Σ[0≦k<N]・f(k)・exp(-j・2・π・n・k/N)
仮定より
=Σ[0≦k<N]・Σ[0≦n<N]・F(n)・exp(j・2・π・n・k/N)/N・exp(-j・2・π・n・k/N)
=Σ[0≦k<N]・Σ[0≦n<N]・F(n)/N

Σ[0≦k<N]=Nより
=F(n)

前回の証明などの意見を聞かせてください

回答No.1

guuman

[定義1]
離散フーリエ変換は,f(n)(n=0,1,・・・,N-1)をサンプルデータとしたときそのDFTは
F(k)=Σ［N-1＜n＜0］f(n)exp(-j*2πnk/N)
と表すことができる。（k=0,1,・・・,N-1)

[定義2]
離散フーリエ逆変換は
f(m)=1/NΣ［N-1＜k＜0］F(k)exp(j*2πmk/N)
と定義される。ここでのmは(m=0,1,・・・,N-1)である。

はコピーミスなのか原文がまちがっているのか分からないが正確には

[定義1]
離散フーリエ変換は,f(n)(n=0,1,・・・,N-1)をサンプルデータとしたときそのDFTは
F(k)=Σ［-N＜n≦0］f(n)exp(-j*2πnk/N)
と表すことができる。（k=0,1,・・・,N-1)

[定義2]
離散フーリエ逆変換は
f(m)=1/NΣ［-N＜k≦0］F(k)exp(j*2πmk/N)
と定義される。ここでのmは(m=0,1,・・・,N-1)である。

のつもりで書いたものだろう
つまらないことにこだわらないようにするため
私が定理を与えよう

[定理1]
Nを自然数とし整数nについてf(n)を複素数とし整数nについてf(n+N)=f(n)とし整数ｋについて
F(k):=Σ[0≦n<N]・f(n)・exp(-j・2・π・n・k/N)
とする
このとき
整数kについて
F(k+N)=F(k)
であり
整数nについて
f(n)=Σ[0≦k<N]・F(k)・exp(j・2・π・n・k/N)/N
である。

[定理2]
Nを自然数とし整数nについてF(n)を複素数とし整数nについてF(n+N)=F(n)とし整数ｋについて
f(k):=Σ[0≦n<N]・F(n)・exp(j・2・π・n・k/N)/N
とする
このとき整数kについて
f(k+N)=f(k)
であり
整数nについて
F(n)=Σ[0≦k<N]・f(k)・exp(-j・2・π・n・k/N)
である。

定理1、定理2について不適当な表現があればその正確な表現を補足に書き
定理1、定理2の証明を補足に書け

補足

[定義1]
離散フーリエ変換は,f(n)(n=0,1,・・・,N-1)をサンプルデータとしたときそのDFTは
F(k)=Σ［0≦n≦N-1］f(n)exp(-j*2πnk/N)
と表すことができる。（k=0,1,・・・,N-1)

[定義2]
離散フーリエ逆変換は
f(m)=1/NΣ［0≦k≦N-1］F(k)exp(j*2πmk/N)
と定義される。ここでのmは(m=0,1,・・・,N-1)である。

[定理１]
仮定よりF(k+N)は次のように表すことができる
F(k+N)=Σ［0≦n≦N-1］f(n)exp(-j*2πn(k+N)/N)
=Σ［0≦n≦N-1］f(n)exp(-j*2πnk/N)*exp(-j*2πnN/N)
exp(-j*2πnN/N)=1より
=Σ［0≦n≦N-1］f(n)exp(-j*2πnk/N)
定義１より
=F(k)
よってF(k+N)=F(k)
[定理２]
仮定より
f(k+N)=1/NΣ［0≦k≦N-1］F(k)exp(j*2πn(k+N)/N)
=1/NΣ［0≦k≦N-1］F(k)exp(j*2πnk/N)*exp(j*2πnN/N)
exp(-j*2πnN/N)=1より
=1/NΣ［0≦k≦N-1］F(k)exp(j*2πnk/N
定義２より
=f(k)

定理１のf(n)と定理２のF(n)の導き方が分からなかったです。
また、この証明で訂正や付け足すことがあれば教えてください。