十分条件？

質問

参考書などで勉強していると、「ここで～～が十分条件であることの確認が必要」などとたまに書いてあるのですが、
どうして必要か理解できないで苦しんでます；；

同値であることがはっきりしてないからですか？
そうだとしたら、それ以外の問題でも同様の記述が必要な気がしてきて・・・。
どういう問題で必要条件・十分条件について考えればいいのでしょうか？

また、lim_[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3を満たす定数a, bの値を求めよ。

という問題に限って、参考書の解説で「lim_[x→1]x^2+ax+b=0であることが必要条件」

と、わざわざ書かれているのですが、この問題でも必要条件・十分条件の検討が必要なのでしょうか？必要な場合は、何故必要なのでしょうか？

どなたかお願いします；；

回答No.5

jamf0421

>質問の主旨は、要するに「求めた答えが十分条件である記述を要求
>するのは、どのような場合か」ということです。。
とのことでしたのでまた投稿します。

数学ですから特に断らない限り、必要十分な答えを要求する、というのが正しいと思います。多くの場合（数学者の扱う問題ではないので）、出した答えが必要十分であるかどうか直感的に判別しているのが実情と思います。
lim(x→1)(x^2+ax+b)/(x-1)=3 ならば lim (x→1)(x^2+ax+b)=0
は明らかです。しかしこれだけで答えをだせばa, bは一意的に決まりません。また、
lim(x→1)(x^2+ax+b)=0 ならば lim(x→1)(x^2+ax+b)/(x-1)=3
ともいえないことも判ります。戻れないのですから、もどれるように（十分条件にもなるように）してやらなければなりません。そこで
lim(x→1)(x^2+ax+b)=0, かつ a=1, b=-2
であるならば、としてやれば
lim(x→1)(x^2+ax+b)/(x-1)=3
となります。これで必要十分となります。

逆に問題が
lim(x→1)(x^2+ax+b)/(x-1)=A（Aは定数）、であるときのa, bを求めよ、
ということであったとします。このときは答えをa=1, b=-2とすれば、A=3ですから、それで十分ではありますが、そうであることが必要とはいえません。
それこそlimの中の分子がゼロになればよい（x-1という因数を持てばよい）のですからa+b+1=0を満たすものすべて、が必要十分な答えということになります。

回答No.4

noname#47975

問題文中に出てくる必要条件というキーワードは題意を満たすために絶対に必要な条件です。

例えば、２次関数y = x^2 + ax + bが　0≦xの範囲で頂点を持つためには、
まず、頂点を持つ条件として、a^2 - 4b > 0（判別式）になります。
これは題意を満たすための必要条件です。この条件がなければ題意は満たされません。
さらに、軸の方程式がx=-a/2から、a < 0である必要があります。
これも題意を満たすための必要条件です。
よって、a^2-4b>0かつa<0ならば題意を満たすので、これで必要十分条件
になります。

同様に、
lim_[x→1](x^2+ax+b)/(x-1) = 3ならばlim_[x→1](x^2+ax+b)=0
が成立する事を利用して問題を解きます（過程は省略）。
ここで、まず、解が存在するには、lim_[x→1](x^2+ax+b) = 0
でなければならないので、必要条件になります。

余談ですが、lim_[x→1](x^2+ax+b)=0は、先述で言うところの判別式程度に思っておけばよいでしょうね．．。確かに、この条件が満たされなければ解は存在しませんね．．。
例えば、二次方程式x^2 + ax + b = 0は3という重解を持つようなa,b
の値を定めよという問題があったとして、
判別式よりa^2 - 4b = 0をまず必要条件として考えます。
次に、9+3a+b =0より、連立させて解きます。
まあ、こんな感じではないですか？

お礼

回答ありがとうございます！
つまり、ほとんどの問題が、答えを出した時点で必要十分となっているということでしょうか？

回答No.3

legman

まず、必要条件、十分条件、必要十分条件の意味がどういうものなのかを理解しましょう。数学的に考えてしまうと、混乱するので少し、数学から離れて考えてみるとわかりやすいです。

例えば、
目玉焼きを作るのに、卵は必要ですよね。ないと目玉焼きにならない！！だから、「目玉焼きを作るのに卵は、必要条件である。」
となります。その一方で、ベーコンがあったとします。ベーコンを入れればベーコンエッグとなり、より美味しくなりますが、これはなくてもいいですよね。ですので
「目玉焼きを作るにベーコンは、十分条件である。」となります。
もし目玉焼きではなく、ベーコンエッグとなると、
「ベーコンエッグを作るのに、ベーコンは必要条件である。」となります。
最後に必要十分条件の意味は、これは、必要なものであり、且つこれだけあれば十分だよって意味です。
つまり、
「ベーコンエッグを作るのに、卵、ベーコンは必要十分条件である。」
と言えます。ベーコンエッグの材料は、聞かれて、卵とベーコンと答えますよね。これが必要十分なわけです。
今回は調味料は考えていませんが、もし数学的な設問であれば、

【問題】
ベーコンエッグを作るのに必要十分な条件を答えよ。但し、調味料および調理する道具は除くものとする。
【回答】
「ベーコンエッグを作るのに、卵、ベーコンは必要十分条件である。」

となります。
よって参考書の解説に、「lim_[x→1]x^2+ax+b=0であることが必要条件」と書いてあるのは、分母→０なのに分子→０にならずに３に収束することはありえない。だから、分母が０になるなら、分子が０になる必要があるよ。と解説しているわけです。

わかりました？

お礼

回答ありがとうございます！
なるほど～　今までただ単に、p→q　でqが必要条件、pが十分条件とだけ覚えてました笑
十分条件の確認を要求するのは、どのようなときなのでしょうか？
教えていただけたら幸いです＞＜

回答No.2

zk43

lim_[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3を満たすa,bを求める問題では、普通は
ロピタルの定理なんかでさっとやってしまうんですが、ロピタルの定理
を使わない場合は、このように必要条件からa,bの条件を求めていくと
いう手順になるんだと思います。
この極限値が３に決まるにためには、まず分子の極限値が０でなくては
なりません。そうでなければ、この極限値は発散してしまうからです。
そこで、lim_[x→1]x^2+ax+b=0より、1+a+b=0という関係がでて、これ
からa=-b-1またはb=-a-1をx^2+ax+bに代入すると、x-1を因数にもつよ
うに因数分解でき、分子分母をx-1で約分すれば、a,bが求められます。
求められたa,bに対してlim_[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3を満たす（十分
条件）の確認は解答としては必要ないと思いますが、検算用としては
やっても良いと思います。

このように、何か分からないものを求めようとするときに、まず何か
必要な条件からある関係を導いて候補をしぼり、条件を満たすように
答えを求めるということがあります。ここで、必要条件は使っています
が、解を求める問題では十分条件を示すまではいらないと思います。
検算用としては十分条件の確認は有効と思います。
あくまでも一般的な話ですが・・・

また、「AとBは同値である」ことを示せ、などという問題では、当然
A⇒B、B⇒Aを示す必要があります。

お礼

回答ありがとうございます！
丁寧な解説ありがとうございます。
AとBが同値であることを示せという問題以外では、
十分条件の確認は特にいらない、ということでしょうか？

回答No.1

jamf0421

挙げられた問題で分子がx→0でゼロになってくれないと発散してしまうので、これが「必要」であることは明らかですね。
しかし一方これだけでは十分ではありませんね。x^2+ax+bが因数として(x-1)を含めばゼロに収束してくれますからx^2 +(-1+α）x-αの形になっていればO.K.です。すなわちa=α-1, b=-αです。必要条件ではこれ以上の制限はありません。
この式はx-1割った結果はx+αです。x→1で3に収束してくれるにはαが2でなければなりません。これで必要十分になります。
ちょっと質問の主旨がわからないのでお望みのコメントではないかも知れませんが...

お礼

回答ありがとうございます！
ありがとうございます。それに関しては理解できました！
質問の主旨は、要するに「求めた答えが十分条件である記述を要求するのは、どのような場合か」ということです。。
分かりづらくてすいません；；