組み合わせの問題です。

質問

ちょっとわからない問題があったので、時間のある方、教えていただければ幸いです。
「1，1，2，2，2，3，4，5の数字を１つずつ書いたカードが８枚ある。この中から４枚とって１列に並べ４桁の数を作るとき、何通りの作り方があるか」という問題です。
まず１が２枚、２が３枚あるのがポイントですよね。同じ数字が入っているときで場合わけするのでしょうか。
１を２枚、２を２枚選ぶとき
１を２枚、2，3，4，5から異なる数を２枚選ぶとき
２を３枚選ぶとき
２を2枚1、3，4，5から異なる数を２枚選ぶとき
1，2，3，4，5から異なる数を４枚選ぶとき

これらの場合わけであっているでしょうか。

回答No.2

hkd9001 · ベストアンサー

こんにちは。
さて、次のような考え方でいいのでは？

まず４枚選ぶうちの「１」の枚数と「２」の枚数との組み合わせを以下のように考えます。このとき、取り出し方（並べ方じゃなくて）のパターンと数を見ます：
（なお「パターン」中の「＊」は１と２以外（つまり３，４，５だけ）の入る個数を示しています）

「１」が０枚，「２」が０枚→これは　ありえない（３，４，５だけでは４枚に満たない）
「１」が０枚，「２」が１枚→取出パターン「２＊＊＊」、１個（３，４，５）
「１」が０枚，「２」が２枚→取出パターン「２２＊＊」、３個（3と4,4と5,3と5）
「１」が０枚，「２」が３枚→取出パターン「２２２＊」、３個（３か４か５のいずれか）
「１」が１枚，「２」が０枚→取出パターン「１＊＊＊」、１個（３，４，５）
「１」が１枚，「２」が１枚→取出パターン「１２＊＊」、３個（3と4,4と5,3と5）
「１」が１枚，「２」が２枚→取出パターン「１２２＊」、３個（３，４，５のいずれか）
「１」が１枚，「２」が３枚→取出パターン「１２２２」、１個（この組み合わせのみ）
「１」が２枚，「２」が０枚→取出パターン「１１＊＊」、３個（3と4,4と5,3と5）
「１」が２枚，「２」が１枚→取出パターン「１１２＊」、３個（３，４，５のいずれか）
「１」が２枚，「２」が２枚→取出パターン「１１２２」、１個（この組み合わせのみ）
「１」が２枚，「２」が３枚→これは　ありえない（枚数オーバー）

次に、上記のうち有効な１０パターンを抜き出して、それぞれの並べ方の数を求めます：

取出パターン「２＊＊＊」、１個、２４通り
取出パターン「２２＊＊」、３個、１２通り（２が２個なので、すべて異なる場合の 1/2 ）
取出パターン「２２２＊」、３個、　４通り（２が３個なので、すべて異なる場合の 1/6 ）
取出パターン「１＊＊＊」、１個、２４通り
取出パターン「１２＊＊」、３個、２４通り
取出パターン「１２２＊」、３個、１２通り（２が２個なので、すべて異なる場合の 1/2 ）
取出パターン「１２２２」、１個、　４通り（２が３個なので、すべて異なる場合の 1/6 ）
取出パターン「１１＊＊」、３個、１２通り（１が２個なので、すべて異なる場合の 1/2 ）
取出パターン「１１２＊」、３個、１２通り（１が２個なので、すべて異なる場合の 1/2 ）
取出パターン「１１２２」、１個、　６通り（１が２個、２が２個なので、すべて異なる場合の 1/4）

あとは、個数と並べ方数（＝「～通り」）を１つずつ掛け算して、合計すれば
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２８６
----------
という数字が出てきますね。

お礼

わざわざ丁寧に説明してくださってありがとうございました。
２８６！！出ました！！すっきりですね～。
ただ試験本番は時間との勝負なのであせりそうですが。

回答No.1

msn00100jp

場合分けで解くならば，その場合分けをして，和をとればいいですね．

次のような考え方があります．
もし，全部異なる数字だとしたら，8!（通り）です．
（2枚の1，3枚の2を区別すると考えます）

ところが，1が2枚あるので，この2枚の並べ方，2!＝2（通り）は1通りとして考えられます．

同じように2が3枚あるので，この3枚の並べ方，3!＝6（通り）も1通りとして考えられます．

したがって，8!を2と6で割ればよいのです．

1つの式でいくなら，
8!/2!3!

補足

早速ありがとうございました。
8!/2!3!ですか。しかしこれだと８枚から４枚を選んで～、というのはなくなるのでは？ただ８枚を並べるということになりますよね？
答えは選択式なのですが、168、286、292、310、430のうちとなっています。