数学的帰納法の問題

質問

(1)でnの規則性(一般項)を推測して、(2)でそれを帰納法で証明する問題なのですが、(1)では偶数と奇数の場合で別々に求めさせる問題です。極限で言えば振動という感じなので。(2)では２つの場合を上手くしき変形して証明します。模範解答を見ても納得できました。

しかし、僕はその変形が分からず、(聞いたことがなかったですが)帰納法でも場合分けをして考えました。つまり、偶数の時はn=1ではなく、n=2のときこれこれは成り立つ、というような感じでやりました。n=k+1の時は奇数、偶数ともに普通に出来ました。

でも、この解法は×を食らいました。今までに聞いたことがない回答なのでしょうがないかとも思いますが、どこが間違えなのか教えてください。つまり、「偶数の時はn=1ではなく、n=2のときこれこれは成り立つ」としてはいけない理由を教えてください。

具体的な問題がなくてすみません・・・・・

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

こういうことをしませんでしたか？

nを偶数とする
(i) n=2 のときに証明する
(ii) n=k のとき正しいと仮定し，n=k+1のときを証明する

nを奇数とする
(i) n=1 のときに証明する
(ii) n=k のとき正しいと仮定し，n=k+1のときを証明する

もし，この通りだったら間違いです．
なぜなら，偶数・奇数は一個おきですので，
nが偶数の場合，n=k (kは偶数)を仮定したら
n=k+1は奇数です．よって駄目です．

この場合は n=k の場合を仮定して，
n=k+2 を証明しないといけません．
偶数奇数を明確にするのであれば，
No.1 さんの書き方になります．

ちなみに，こういう場合分けと帰納法の組合せは，
入試にはそこそこでてるはずです．
はるか昔ですが，平成元年あたりの大阪大学の理系の問題で
偶数・奇数ではなく，3で割った余りでこの手の手法を使った
極限を求める問題があったような記憶があります．
したがって，正しく論理展開できているのであれば，
バツになることはないでしょう．
逆に正しいのにバツになったのであれば，採点者のレベルが
低いだけです．

けど，・・・そもそも採点者なり先生なりに聞くほうが
速いと思うのですが。。。

お礼

ありがとうございました。まったくおっしゃる通りの事をしました。具体的なことを書いてなくてすみません。

回答No.2

noname#221368

質問文を読んだ限りでは「何が悪い！」と思いました。ただそこは高校（受験）数学、何が引っかかりになっているかは、常識では判断できない時もあります。
　是非具体的な問題を書いて下さい。そして、あなたの解凍の概略も。きっと色んな回答が寄せられると思います。

回答No.1

fool_ish

> n=k+1の時は奇数、偶数ともに普通に出来ました。
とあるが，偶奇の場合分けをした帰納法というと
(a-1) n=1 で成り立つ．
(a-2) n=2k-1 で成り立てば，n=2k+1 でも成り立つ（k=1,2,...）．
と，
(b-1) n=2 で成り立つ．
(b-2) n=2k で成り立てば，n=2(k+1) でも成り立つ（k=1,2,...）．
をそれぞれ証明したものを思い浮かべるのだが，
あなたはどのようなことを証明したのか．
具体的な問題がなくともよいが，最低限，上のように方針をきちんと書いてもらわないと的確なアドバイスはできない．