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場合の数 a1<a2<a3・・・・ b1<b2<b3<・・
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>この問題に取り組んでいるのですが、うまく数える方法あるでしょうか？ うまく数える方法があります。 「カタラン数」というキーワードで検索してみてください。 >(1)p2、p3、p4、p5を求めよ p2=2, p3=5, p4=14, p5=42 >(2)pnをｎを用いて表せ pn=(2n)!/((n!)^2*(n+1))
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- koko_u
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a_1 < b_1 < b_2 ... < b_n より a_1 = 1 a_2 < b_2 < ... < b_n より a_2 <= 3 (a_2 より大きい数が (n-2)+(n-1)個ある) a_3 < b_3 < ... < b_n より a_3 <= 5 というわけで a_i <= 2i-1 逆に {1, 2, ... , 2n} から a_i を 2i-1 以下となるよう、a_1 < a_2 < ... と取って、残りを小さい順に b_i とすれば a_i < b_i (証明略) というわけで a_1 の選び方は 1 通り、a_2 の選び方は 3-1=2通り、... a_i の選び方は (2i-1)-(i-1)=i通り 結局総数は 1×2×... ×n = n! 通り #たまには自信のない回答もしてみたり。
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