集合の問題

質問

集合A＝（1,-1,i,-i）。
４数からなる集合Bが乗法と除法に関して閉じていれば，
B=Aであることを証明せよ。
集合Aが乗法と除法に関して閉じていることは理解できたのですが・・・。
申し訳ございませんがよろしくお願い致します。

回答No.3

noname#24129 · ベストアンサー

Ｂ≠Ａと仮定する。

I）要素の１つが異なるとき、

1)　Ｂ＝(x_1,-1,i,-i)、x_1≠1の場合、乗法に関して閉じているのだから、
-i*-i=1より、x_1＝1でなければならない。これは矛盾である。

以下同様に、適当な要素の演算によって、
2）Ｂ＝(1,x_2,i,-i)
3）Ｂ＝(1,-1,x_3,-i)
4）Ｂ＝(1,-1,i,x_4)
の場合について、矛盾が示せるだろう。

II）要素が２つ異なるとき、
1）Ｂ＝(x_1,x_2,i,-i)の場合、(x_1,x_2)は、1,-1のいずれをも含む集合ではない。ところが、Ｂは乗法に関して閉じているのだから、(-i)*(-i)=-1より、x_1＝-1またはx_2＝-1でなければならない。これも矛盾である。なぜなら、いずれの場合においても、集合(x_1,x_2)は、-1を含むことになるからである。

・・・第1,3番目の要素、第1,4番目の要素が異なる場合も同様に、簡単に矛盾が示せると思う。

4）Ｂ＝(1,x_2,x_3,-i)、(x_2,x_3)は、-1,iのいずれをも含む集合ではない。これも、(-i)*(-i)=-1より、矛盾する。

・・・第2,4番目の要素が異なる場合も同様に、矛盾が示せるだろう。

6) Ｂ＝(1,-1,x_3,x_4)の場合、

(x_3,x_4)は、i,-iのいずれをも含む集合ではない。・・・(a)

（・・・ここでつまづく。同じようなやり方で矛盾を導き出せない)

また、(x_3,x_4)は、1,-1をも含まない。・・・(b)

(b)より、1/x_3は、1や-1にはならない。すると、除法に関して閉じていることから、

1/x_3=x_4でなければならない。・・・(c)

同じく、(b)より、-1/x_3は、1や-1にはならない。すると、除法に関して閉じていることから、

-1/x_3=x_4である。・・・(d)

(c)と(d)において、矛盾が示せた。

III）要素が３つ異なるとき、

1)　Ｂ＝( 1,x_2,x_3,x_4)の場合、
除法によって、1/x_2,1/x_3,1/x_4、がつくられる。1/x_2≠1,1/x_3≠1,1/x_4≠1であり、Ｂは除法に関して閉じていることから、1/x_2=x_2か1/x_2=x_3かまたは1/x_2=x_4である。1/x_2=x_2のときは、1/x_2≠1であるから、x_2=-1となる。これは、場合分けのII）6)に帰着する。すなわち、ここで、考えるべきは、1/x_2=x_3かまたは1/x_2=x_4である。（他も同様に、作られた逆数は、逆数をつくった要素とは別の要素のどれかに等しくなる）
1/x_2=x_3のとき、1/x_3=x_2でなければならない。というのも、x_2*x_3=1だからである。このとき、II）6)の場合をのぞけば、要素1とx_4が逆数の関係とならなければならない。すなわち、1*x_4=1とならなければならないのであるが、これが、x_4≠1に反することになるのである。

x_2ついてのこの考えを、同じようにx_3やx_4について適用すれば、ここでの場合分けは、x_2,x_3,x_4のうちのいずれかが、-1の場合、（それはII）6)で考慮済みの場合)をのぞいては、ありえないのである。

以下の場合は、Ａ1さんの考え(ある要素/その要素自身＝1、かつ除法について閉じているので、1が要素として存在しなければならない)から、II)の場合分けに帰着する。

2)　Ｂ＝(x_1, -1,x_3,x_4)の場合、
3)　Ｂ＝(x_1,x_2, i,x_4)の場合、
3)　Ｂ＝(x_1,x_2,x_3, -i)の場合、

IV)　要素が４つ異なるとき、

これも、Ａ１さんの考えから、III）1)　Ｂ＝( 1,x_2,x_3,x_4)の場合に帰着する。

I）II）III）IV）いずれの場合においても、Ｂ≠Ａと仮定すると矛盾が生じることが示せた。よってこの仮定は誤りであり、Ｂ＝Ａであることが分かる。

回答No.6

rinkun

AN0.5さん
> a^2=bとなる可能性はどのようにして排除できるのか
説明が抜けていましたね。
先の場合と同じくa^2=bだとb^2=a^4=1から矛盾するですね。

なお、群Bの位数4から各元の4乗が1になるのは有限群の基礎知識として使っています。
# 一般に、有限群の元の位数(冪乗して単位元になる最小の数)は群の位数(群の要素数)の約数になる
# 従ってどの元も群の位数乗すれば単位元(1)になる

回答No.5

YHU00444

ANo.1ですが、
>改めてB={1,-1,a,b}と置き直してa^2、b^2を考えると、どちらも1にはならない(2乗して1になるのは1、-1のみ)からa^2=b^2=-1。
でa^2=bとなる可能性はどのようにして排除できるのかお教えいただけますか？
位数4だけではα^4==1は必ずしも自明とは言えないと思うんで
※まぁそれを認めると解の個数が矛盾することを示せば否定できるのだけど、それは私のでも検証してるから手間は一緒かと。

ちなみに、私が書いたのはB=(1,α,α^2,α^3,…,α^n,…)でして、α^4=α^n(n=0,1,2,3)で検証することを考えてました。

回答No.4

rinkun

> B= {1,α,α^2,α^3} と書ける
これは自明にはでないと思うけど。どの元を取っても2乗すると1になってしまう場合がないことを示さないと。

B={1,a,b,c}と置いてa^2を考えると、a^2=1あるいはa^2=b。(a^2=cはa^2=bと同じ)
前者の場合はa=-1。後者の場合はb^2=a^4=1 (Bは位数4の群になっているからどの元も4乗すると1)よりb=-1。
改めてB={1,-1,a,b}と置き直してa^2、b^2を考えると、どちらも1にはならない(2乗して1になるのは1、-1のみ)からa^2=b^2=-1。
これでa,bはそれぞれi、-iだと分かる。
# 2乗して-1になる数はi、-iしかないことは自分で確認して

回答No.2

YHU00444

まぁ、Bの要素をα_i=r_i*exp(iθ_i)とでもおいて考えてやれば、α_iが積商の演算で閉じるためにはr_i=1になりそうだ、とか、θ_iを適当に分割しないとBの要素が有限にならないのでアウトだろうとか、いかにも4を法とする剰余群と似た感じになりそうだとか見えてくるので、その辺からαを累乗するネタを出したわけです。
コツとしては、αの3次以下がどれかの要素と重なってしまうとBの個数が4コにならないこと、α^4=1のときのみBが4つになることを示せばOKでしょう。あとは具体的な計算かと。

回答No.1

YHU00444

具体的にBの要素を構成してみれば良いんじゃないでしょうか？
まず、集合が除法に関して閉じていることから、1がBの要素であることは自明に分かりますよね（適当な要素αをそれ自身で割れば1が出てくるから）。
なので非自明な要素αを使って集合を表現してやれば、B=(1,α,α^2,α^3,…)と書けるから、あとはその要素がちょうど4コになる場合を場合分けして調べ上げればα^4=1のうちの特定の場合のみに個数が合うという流れになるんじゃないかと。

お礼

回答ありがとうございます。
B=（1,α,α^2,α^3）と書けるということは、αを乗法している
ということでしょうか？
とりあえず、集合Bを上記のように置いてみてやってみます。