「x^2/36＋y^2/64＝1となるとき、xyの最大値を求めよ。」という問題の考え方

質問

「x^2/36＋y^2/64＝1となるとき、xyの最大値を求めよ。」
という問題があるテストで出たのですが、いまいち考え方がわかりません。

自分の考えは、
「1/2＋1/2＝1よりx^2＝18、y^2＝32となるのでx＝±3√2、y＝±4√2となる。
上記のとき、最大値をとるのはx＝3√2、y＝4√2のときである。
したがって、xyの最大値は3√2・4√2＝24となる。」
という感じなのですが、正直答えが合っているのかもわかりません。
仮に合っているとしても、なんとなくしっくりこないものがあります。

こういう問題の考え方で、いい方法はどんなものなのでしょうか？

回答No.1

at9_am · ベストアンサー

エレガントな方法には微分を使って解く方法などが有りますが、今回は地味な方法で。

x/6 = X
y/8 = Y

とおくと、

「X^2 + Y^2 = 1 のときに 48XY の最大値を求めよ」

と問題を書き換えることが出来ますよね。
したがって、

xy = 48 XY = k

とおくと Y = k/(48X) より

X^2 + Y^2 = X^2 + k^2/(48X^2) = 1
X^4 - X^2 + (k/48)^2= 0

ここで X^2 = Z とおけば

Z^2 - Z = -(k/48)^2
(Z^2 -1/2)^2 = 1/4 - (k/48)^2 ≧ 0

したがって、

(k/48 - 1/2)(k/48 + 1/2) ≦ 0
-1/2 ≦ k/48 ≦ 1/2
-24 ≦ k ≦ 24

∴ xy の最大値は 24

お礼

回答ありがとうございます。
自分では1/2がなぜ最大値を取るのかということがいまいちよくわからなかったので、at9_amさんの回答でそれがわかりました。
こういう問題ではこういった解き方をするのですね。
大変わかりやすい回答ありがとうございます。
もしよろしければ、微分を使った方法というのも教えていただけませんでしょうか？

回答No.10

grothendieck

私の回答でxyの最代値12となっているのは24の誤りです。

回答No.9

grothendieck

○ 実根条件に帰着させる
ならば、(x/6)・(y/8)＝k　とするとき

　(x/6 + y/8)^2 = 1 + 2k

より解と係数の関係から(x/6)と(y/8)はtの2次方程式

　t^2 ± t√(1+2k) + k = 0

の実数解であることより、
　判別式 = 1 + 2k -4k ≧0
よって k≦1/2、xyの最代値は12
とすべきだと思いますが…
この他、楕円と双曲線の幾何学的定義（楕円は2定点からの距離の和が一定、双曲線は2定点からの距離の差が一定）からできないかと考えてみましたが、今の所できていません。

お礼

みなさま様々な回答どうもありがとうがとうございます。
疑問点は解決できたように思います。
回答していただいたみなさまどうもありがとうございました。
また、お礼と質問締め切りが遅れてしまって申し訳ありませんでした。

回答No.8

take_5

面白いですね。
皆さん、自分のレベルで回答している。
質問者から出される問題のレベルによって、質問者のレベルが分るはずです。
従って、その人が理解できそうなレベルの回答をすべきと思います。

＞円と双曲線がちょうど接するところで，
対称性からその接点は Y=X のところです．

こんな事がわかってるなら、こんなレベルの問題は質問しないでしょう。
この質問者は、もっと基本的なところが理解されていないんです。

このコーナーは、回答者の自己満足のためにあるんじゃないんです。
質問者のためにあるんですよ。

回答No.7

siegmund

いろいろ解法はあると思いますが，
以下のようなものが最も簡単でしょうか．

No.1 の at9_am さんにならって
問題を
「X^2 + Y^2 = 1 のときに 48XY の最大値を求めよ」
(XY の最大値を求めよ，と同じこと --- 48 倍すればよいだけだから)

と書きなおします．

(1)　　X^2 + Y^2 = 1
は言うまでもなく単位円です．
(2)　　XY = C
は双曲線で(C>0 としておいてよいのは明らかでしょう)，
直線 Y=X に関して対称です．
グラフを描けばわかりますように，
双曲線の第１象限部分は C が大きくなるにつれて
どんどん右上に移動してゆきます．
したがって，
C が小さいうちは円と双曲線は交わりますが，
C が大きくなると交わらなくなります．
その境界はどこかというと，
円と双曲線がちょうど接するところで，
対称性からその接点は Y=X のところです．
(1)上で Y=X ですから，接点は X=Y=±1/√2 で，
このとき XY = 1/2，48XY = 24 となります．

これだと，微分計算も判別式も要らず，あっという間に答が出ます．

ついでに，
なぜ Prejudice さんの考えで正しい答が出てしまったのかも
明らかになります．
書き直した問題で，最大値を求めるべき関数 XY が Y=X に関して
対称だったからです．
それで接点が Y=X になったのですが，
それは質問文の「1/2＋1/2＝1より」と同じことです．
つまり，接点がどこかは問題をもうすこし検討して初めてわかることなのですが，
Prejudice さんは最初からそう思いこんでしまったことになります．

例えば，書き直した問題で
「2X+Y の最大値を求めよ」
だと，最初から接点を Y=X と思ってしまってはいけません．
2X+Y は Y=X に関して対称ではないからです．
(3)　　2X+Y = A
とおくと，
(4)　　Y = -2X+A
ですから，今度は直線(4)と円(1)が第１象限で接するところを考えれば
いいことになります．
接線と半径は直交しますから，原点を通る傾き 1/2 の直線
(5)　　Y = (1/2)X
と(1)との交点が(1)(4)の接点になります．
あとはお任せしますが，
最初から Y=X と思ってしまっては正しい答が出ないのも
おわかりいただけるでしょう．

他には，相加平均と相乗平均の関係を使う方法もあります．
書き直した問題で
(6)　　XY = √(X~2 Y^2) ≦ (X^2 + Y^2)/2 = 1/2
とすればＯＫです．
もとのままやるなら
(7)　　xy = 48√{(x^2/36) (y^2/64)}
　　　　　≦ 48 {(x^2/36) + (y^2/64)}/2 = 24
です．
うるさく言えば，例えば(6)で実際に XY=1/2 となることを
示さないといけないでしょうけれど．

質問は多分高校の範囲の話と思いますが，この種の問題は
○ １変数にする
○ 実根条件に帰着させる
○ グラフ的考察
○ 相加平均，相乗平均
くらいで，解決がつきそうです．
なお，No.6 の leige さんの方法は Lagrange (ラグランジュ)の未定係数法
と呼ばれる手法で，
条件付き極値を調べる強力な方法ですが
大学の範囲ですね．

お礼

とても詳しく説明していただきありがとうございます。
この問題は大学受験用の模試で出た問題ですので高校レベルです。
今までにも何回か見た事があるのですが、不真面目に生きてきたのもありその都度の復習を怠っていたせいで、正しいやり方がわかりませんでした。
みなさんの回答を見て、いろいろなとき方があり驚いています。
まだまだ自分は勉強が足りないと悟りました。

この種の問題の解決法を簡潔に４つにまとめていただいたもの、これからも使わせていただきます。とてもわかりやすいです。
どうもありがとうございました。

回答No.6

leige

条件よりx^2/36＋y^2/64-1＝0となるので
ラムダを定数として
f(x,y)=xy+λ(x^2/36＋y^2/64-1)
の極値を求める問題とかんがえます。

∂f(x,y)/∂x=y+2λx/36=0…(1)
∂f(x,y)/∂y=x+2λy/64=0…(2)

(1)*(x/(2λ))-(2)*(y/(2λ))より
x^2/36-y^2/64=0
が極値をとる条件になります。

これが
x^2/36＝y^2/64＝1/2
となります。

お礼

回答ありがとうございます。
自分はまだ大学に入学する事ができないダメダメな奴です。
leigeさんの解法は自分にはレベルが高すぎるようで・・・すいません。

回答No.5

mangou-kutta

No.2で書いた以上は蛇足と思っていましたがついでに
(xy)^2
＝x^2・y^2
＝x^2・64{(1-(x^2/36)}
＝-(4/3)^2(x^2-18)^2+24^2
∴(xy)^2はx^2-18=0のとき最大値24^2

xyの正負を考えて条件式からyも求めて
x=3√2,y=4√2またはx=-3√2,y=-4√2のとき
xyは最大値24

お礼

さらに詳しい式まで書いていただきありがとうございました。

回答No.4

take_5

こんな基本的な問題に、微分や助変数表示を持ち出す必要もないでしょう。
単純な複2次方程式の問題です。

x^2/36＋y^2/64＝1‥‥(1)、xy＝k‥‥(2)とする。
x＝0のとき、k＝0で、このときy＝±8　‥‥(3)、これも求める答えの一部である。
x≠0のとき、y＝k/xを(1)に代入すると、16x＾4-576x＾2＋9k＾2＝0.
x＾2＝tと置くと、方程式：16t＾2-576t＋9k＾2＝0がt≧0の解を少なくても一つ持つためのkの条件として求められる。
2解の和＞0、2解の積＝9k＾2≧0であるから、Ｄ≧0であれば良い。

後は自分で計算してください。

お礼

回答ありがとうございます。
この種の単純な問題にはいろいろな解法があるんですね。

回答No.3

springside

そのやり方ではダメです。
なぜ最初に1/2+1/2=1が登場するのか不明ですし、x=3√2,y=4√2のときにxyが最大になるという根拠がありません。（たまたま、答えが一部合っていますが、根拠がないため、試験では不正解とされるでしょう。）

こうやるのが分かりやすいと思います。

与式は
　(x/6)^2 + (y/8)^2 = 1
と変形できるので、実数θ(0≦θ＜2π)を用いて、
　x/6=cosθ、y/8=sinθ
と置ける。

すると、
　xy = 48sinθcosθ
　　 = 24sin(2θ)
となり、sin(2θ)の最大値は1なので、xyの最大値は24である。
sin(2θ)=1となるのは、θ=π/4、5π/4のときなので、xyが最大になるときのx,yは、
　x=3√2、y=4√2　と
　x=-3√2、y=-4√2
である。

ちなみに、この問題、グラフで考えると、「楕円と双曲線が接する時が最大」ということになります。

お礼

回答ありがとうございます。
全くおっしゃるとおり、回答がたまたま合っただけです。
自分自身この問題を全く理解できていませんでした。
正直みなさんの回答を見て「こういう回答の仕方をすればいいのか」という状況です。
まだまだ勉強が足らないです・・・もっと頑張ります。

この問題でsinθやcosθを使うとは全く思いつきませんでした・・・
しかも楕円と双曲線が絡んでいるとは・・・
わかりやすく回答も書いていただき感謝の念でいっぱいです。
どうもありがとうございます。

回答No.2

mangou-kutta

原則的には条件式
x^2/36＋y^2/64＝1
から文字が一つ減らせるので
xyがxのみであらわされることになりまする

具体的には
(xy)^2
＝x^2・y^2
とすれば条件式から簡単にxの複二次式が出ますから
後は簡単です。

あなたのやりかたで回答の一部は出ていますが、
「1/2＋1/2＝1よりの」理由が明記されていません。

お礼

回答ありがとうございます。
そうなんです・・・自分の作った回答のくせに行き当たりばったりの何の根拠もない回答なんで、最大値が1/2なのかなど疑問点ばかりで、次こういった問題が出た場合は解ける保障が全くないと思って質問させていただきました。
どうもありがとうございます。