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円の式を微分方程式で表すと・・・
y=x上に中心のある任意半径の円が満たす微分方程式が分かりません。 円の式 x^2+y^2=c^2 (cは円の半径、中心は原点) (x-a)^2+(y-b)^2=c^2 (a,bは中心の座標、cは円の半径) という式からとりあえず、 xdx+ydy=0 (x-a)dx+(y-b)dy=0 となるだろうことは分かります。(もしかしてこの時点で間違ってますか?)しかし、これだと中心が原点、もしくは任意の(a,b)のときだけです 。 「(a,b)はy=x上の点とする」と定義してしまえばそれまでなのかもしれませんが、それだと意図が違う のでは?、と思うのです。 「y=x」という、円の中心を取る関数をどう絡めたらいいのかがわかりません。 ヒントをお願いします。
- mathkun
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まとめです。 中心が y=x 上ということは、中心は(a,a) aは任意、とおける。 円の式は (x - a)^2 + (y - a)^2 = r^2 ; a, r は任意 …(1) となる。 (1)を x で微分。 2(x - a) + 2(y - a) y' = 0 両辺を2で割って (x - a) + (y - a) y' = 0 …(2) (2)を x で微分。 1 + (y')^2 + (y - a) y'' = 0 …(3) ここまでが#3までの結果です。 ここから a の消去に入ります。まず a の式を求めます。 (3)より (y - a) y'' = - 1 - (y')^2 ∴ y - a = ( - 1 - (y')^2 ) / y'' …(4) ∴ a = y + ( 1 + (y')^2 ) / y'' …(5) ここまでは、#3 への補足質問までの結果。 この後、a の消去ですが、質問者さまの方法では結果が複雑になるようなので、ここでは、(4)と(5)を(2)に代入するのがいいのではないかと思います。 (x - {y + ( 1 + (y')^2 ) / y''}) + {( - 1 - (y')^2 ) / y''} y' = 0 y'' を両辺に掛けて整理します。 (x y'' - y y'' - 1 - (y')^2 ) + ( -y' - (y')^2 y') = 0 (x - y)y'' - 1- (y')^2 - y' - (y')^3 = 0 (x - y)y'' = 1 + y' + (y')^2 + (y')^3 私が計算すると何やら意味ありげな結構美しい式が出てきました。 最近、計算間違いばかりなので、自信無しです。皆さまの検証をお待ちします。
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- take008
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一般的にしてみました。 (1) (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 (2) (x-a)+(y-b)y'=0 (3) 1+(y')^2+(y-b)y"=0 (2)×y"-(3)×y' より (4) (x-a)y"-(1+(y')^2)y'=0 (4)' ay"=xy"-(1+(y')^2)y' (3)' by"=yy"+(1+(y')^2) 中心が y=mx 上にある円は (3)'-(4)'×m より 0=(y-mx)y"+(1+(y')^2)(1+my')
- take008
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・・すごい式になってしまいました・・ 分母をかけても,yy' が消える程度で簡単な式にはならないですね。 直接関係はありませんが,参考URLの「曲線の曲がり具合」を読んでみてください。
- take008
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y=x上に中心がある円は (x-a)^2+(y-a)^2=r^2 と定数を2つ含みます。 2つの定数を消さないといけないので,y'とy''まで必要です。 2(x-a)+2(y-a)y'=0 と 1+(y')^2+(y-a)y''=0 から aを消去しましょう。
- springside
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円の中心が(a,a)(aは定数)にあるということなので、半径をrとすると、円の方程式は (x-a)^2 + (y-a)^2 = r^2 となり、これの両辺をxで微分すると、 2(x-a) + 2(y-a)*(dy/dx) = 0 なので、 dy/dx = -(x-a)/(y-a) ってことなのでは?
お礼
ありがとうございます。
- debut
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円の中心がy=x上なら、中心のx座標とy座標が等しいと言うこと なので、中心の座標を(a,a)とすればよいのでは?
お礼
ありがとうございます。
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